¿Cuáles son algunas paradojas matemáticas?

Se llaman paradojas matemáticas a ciertos resultados notoriamente falsos que parecen deducirse de demostraciones rigurosas, pero durante las cuales se ha efectuado una operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o una construcción geométrica cuyo trazado no es correcto. Sofismas.

Por ejemplo:

Demostración de que 2 = 1

Supongamos que a = b

(1) multiplicando por a: a2 = a·b

(2) restando b2: a2 - b2 = a·b - b2

(3) factorizando a la izquierda: (a + b) · (a - b) = a·b - b2

(4) factorizando a la derecha: (a + b) · (a - b) = b · (a - b)

(5) simplificando: a + b = b

(6) como a = b, sustituyendo: b + b = b, es decir: 2·b = b

(7) simplificando: 2 = 1

Otra paradoja matemática:

Nos dicen que a=2, b=3. Esto significa, claro está, que: a=b-1
Si multiplicamos por (a-b), obtenemos esta expresión: (a-b)a=(a-b)(b-1)
Resolvemos los productos (en la izquierda, se multiplica cada término de la resta por a, y en la derecha, se tiene que multiplicar cada sumando por los otros dos, así): a^2-ab=ab-a-b^2+b (Nota: "^" es para indicar "elevado a", o sea, que es a al cuadrado y b al cuadrado).
Pasando al otro lado, nos queda: a+a^2-ab=b+ab-b^2
Tomamos factor común a cada lado respecto a y b: a(1+a-b)=b(1+a-b)
Como tenemos el mismo factor a los dos lados, los cancelamos, y: a=b
Es decir, 2=3

Hay otras paradojas

La del mentiroso. Se atribuye a Epiménides haber afirmado: "Todos los cretenses son mentirosos". Sabiendo que él mismo era cretense, ¿Decía Epiménides la verdad?

Un enunciado y su contrario. "Esta frase consta de siete palabras." Está claro que su enunciado es falso, ya que consta de seis. Por tanto, su contrario debería ser verdadero. ¿Es esto correcto?

De las siete preguntas de que consta el examen, ya te has equivocado en tres preguntas, y sólo nos queda una. Tu aprobado o suspenso depende completamente de si aciertas o no la próxima pregunta. ¿Te das cuenta?
ALUMNO: Sí. Me doy cuenta.
PROFESOR: El estar nervioso no te ayudará.
ALUMNO: Ya lo sé. Trataré de tranquilizarme.
PROFESOR: Y esta es la pregunta. Recuerda: todo depende de si contestas esto bien o mal.
ALUMNO: Sí, sí, ¡ya lo sé!
PROFESOR: La pregunta es ésta: ¿Aprobarás este examen?
ALUMNO: ¿Cómo voy a saberlo?
PROFESOR: Eso no es una respuesta. Debes darme una respuesta clara, sí o no. Si contestas bien, aprobarás; si no, suspenderás. ¡Así de simple!
La cuestión no le parecía nada simple al alumno. La verdad es que cuanto más pensaba en ello más confuso se sentía. Y de repente cayó en la cuenta de algo muy interesante. Si contestaba una cosa, el profesor tendría la posibilidad de aprobarle o suspenderle, como más le complaciera. Si contestaba lo otro, sería imposible que el profesor le aprobara o le suspendiera sin contradecir sus propias reglas. Como el alumno tenía más interés en no suspender que en aprobar, eligió la segunda alternativa, y contestó de una manera que confundió por completo al profesor. ¿Qué respuesta dio?

(Es obvio que dijo no).