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Nos hallamos ante un problema de teoría de números que no es trivial, aunque afortunadamente bastante accesible, tratándose de los temibles números primos, y es posible que se pueda resolver más brevemente que como lo presento. No obstante, me parece mucho más interesante mostrar varias herramientas que pueden ponerse en juego ante algunos lectores, acaso poco familiarizados con diversos hechos aritméticos de fundamental importancia, que dar un bosquejo rápido y demasiado breve de la demostración requerida, apelando para ello, sin demostración alguna, tal vez a teoremas y propiedades aritméticas quizá poco conocidas para muchos lectores no especialmente interesados en la teoría de números.

La demostración por pasos:

Sea p primo>3, luego p≥5, y designemos la suma dada por

Sₚ=[1/(1*(p-1)]+[1/(2*(p-2)]+…[1/(p-1)*1] (&)

Efectuando la suma de fracciones, todas ellas de términos enteros y positivos obtendremos otra fracción de términos enteros y positivos, y simplificándola al máximo podremos expresarla como fracción irreducible Sₚ = aₚ/bₚ, de modo que aₚ y bₚ no tienen ningún divisor común mayor que 1. En particular, el número primo p no divide al mismo tiempo al numerador y al denominador aₚ y bₚ.

PROBLEMA: Demostrar que el numerador aₚ es siempre múltiplo de p.

Si multiplicamos ambos miembros de la igualdad (&) por (p-1)!, tendremos una igualdad entre enteros, y tal vez se pueda hacer algo…

(p-1)!* Sₚ = (p-1)! * aₚ/bₚ = entero → aₚ/bₚ = entero/(p-1)!; pero entonces, por la regla de multiplicación cruzada para las igualdades fraccionarias →

(p-1)! * aₚ = entero * bₚ; si suponemos que p es divisor de bₚ, entonces p dividiría al segundo miembro y en consecuencia al producto del primer miembro, esto es,

p | [(p-1)! * aₚ], y por ser p primo, debe dividir a uno de los dos factores (primer teorema de Euclides); pero p no divide a (p-1)!, pues entonces dividiría a algún factor de 1*2*3*…*(p-1), de nuevo por ser primo (Euclides otra vez), y entonces dividiría a un entero menor que él y positivo…¡CONTRADICCIÓN! De modo que forzosamente, p | aₚ, o sea, p es divisor de aₚ : una linda contradicción, puesto que habíamos partido de la hipótesis de que la fracción aₚ/bₚ era irreducible, y por tanto aₚ y bₚ no tenían ningún divisor en común.

De manera que ahora sabemos que no solo es irreducible la fracción aₚ/bₚ, sino también que el número primo p no divide al denominador bₚ.

Antes de intentar derrotar a un enemigo, debemos conocerle lo mejor posible.

(Ley nº1 de Ricardo Ramírez)

Los asociados de los enteros 1,2,…,p-1:

Se llama comúnmente a dos enteros g y h (positivos o negativos, pero ambos distintos de cero) asociados con respecto al módulo m (entero positivo) cuando gh≡ 1 (mód m). No siempre existe el asociado de un entero, respecto de cualquier módulo; por ejemplo, no hay ningún asociado de 6 módulo 12, pues entonces existiría cierto entero x tal que

6x≡ 1 (mód 12) → 6x - 1 =múlt de 12, algo imposible, pues 6x-1 siempre es impar y todo múltiplo de 12 es par.

Sin embargo, todo entero que no sea múltiplo de p, donde p es cualquier número primo, tiene un asociado (mód p), y además dentro del conjunto {1,2,…,p-1}. Hay muchas demostraciones de este lema fundamental en la teoría de números, unas basadas en las congruencias lineales, otras en la inducción, o en el algoritmo de Euclides; otras en las ecuaciones diofánticas lineales, o en las fracciones continuas (Lagrange), pero una muy rápida es emplear el teorema de Fermat (el "pequeño"…): en efecto, si n€Z, y n no es múltiplo de p, entonces n es (evidentemente) congruente con su resto positivo r obtenido al dividirlo por p mediante la división euclídea; y es r€{1,2,…,p-1}. Pero por no ser r múltiplo de p, será:

rᵖ⁻¹ ≡ 1 (mód p) [Congruencia de Fermat], luego rᵖ⁻² * r ≡ 1 (mód p) y si reducimos rᵖ⁻² módulo p, llamándolo r' (€ I) tendremos r*r'≡ 1 (mód p), de modo que r tiene como asociado a r' € {1,2,…,p-1}, y en consecuencia, r' es también asociado de n, pues:

n≡r (mód p) → n * r' ≡r*r' (mód p), es decir, n * r' ≡1 (mód p) c.q.d.

Para tranquilidad de los lectores muy meticulosos y atemorizados por escrúpulos metodológicos, diremos que se puede probar la Congruencia de Fermat sin emplear este lema, de lo contrario la demostración anterior caería en la circularidad, y no demostraría nada. Una de las más bellas demostraciones del "pequeño" teorema de Fermat se deduce al desarrollar la potencia

(1+1+1+… {r veces}…+1)ᵖ por medio de la fórmula de Leibniz para la potencia de un polinomio, generalización del binomio de Newton, y llamada por los autores anglosajones "fórmula del multinomio".

Aplicando esa fórmula se tiene:

(1+1+1+… {r veces}…+1)ᵖ=∑[p!/(λ₁! λ₂! …λᵣ!)] donde λ₁, λ₂,…λᵣ son enteros entre 0 y p ambos inclusive, y tales que λ₁+λ₂+…+λᵣ=p; solo cuando algún λₖ=p, siendo 0 los demás, se tiene un 1, lo que sucede r veces, en los otros casos

p!/(λ₁! λ₂! …λᵣ!) es múltiplo de p, así que:

rᵖ ≡ r (mód. p) y por ser r y p primos entre sí, podemos dividir por r obteniendo finalmente la tesis del "pequeño" teorema de Fermat:

rᵖ⁻¹ ≡ 1 (mód p), c.q.d.

Volvamos al punto anterior a esta digresión.También es cierto que, en la hipótesis de ser p primo, el asociado (mód. p) de un elemento del conjunto finito

I= {1,2,…,p-1}, si se elige dentro del mismo conjunto, es único: dado cierto j€I, existe un asociado j'€I, como se ha visto, y ningún otro entero de I es asociado de j. En efecto, si

j*j'≡ 1 (mód p), y j*j''≡ 1 (mód p) → j*j'≡j*j'' (mód. p) → siendo 0

[Es costumbre en teoría de números suprimir las letras MCD, o GCF, en inglés, y dejar solo el par o, en general, la n-upla de números como notación del máximo común divisor].

Luego se pueden dividir por j los dos miembros de la última congruencia:

j'≡j'' (mód. p)→ |j'-j''|= múlt. p, pero por ser < p tanto j' como j'', debe ser

|j'-j''|=0 → j'=j'', como afirmábamos, lo que prueba la unicidad del asociado.

Los asociados de números complementarios en I= {1,2,…,p-1}

Dado j€I, representemos por u(j) al asociado de j (mód. p). Llamemos [solo en este problema] complementarios a dos elementos de I cuya suma es p, como 1 y p-1, o como 2 y p-2…etc. de modo que el complementario de j será p-j € I.

Por las definiciones dadas, tenemos:

j* u(j) ≡ 1 (mód. p), y (p-j) * u(p-j) ≡ 1 (mód. p). Pero -j ≡ p-j (mód. p),

luego: (-j) * u(p-j) ≡ (p-j) * u(p-j) ≡ 1 (mód. p), o bien:

j * [-u(p-j)] ≡ 1 (mód. p), de modo que -u(p-j) es asociado de j y también u(j) lo es → j * [-u(p-j)] ≡ j * u(j) (mód. p), y siendo (j,p) =1 podemos simplificar, cancelando j, de modo que será:

u(j) ≡ -u(p-j) (mód. p) → u(j)+u(p-j) = múlt. de p.

Ahora bien, tanto u(j) como u(p-j) pertenecen a I= {1,2,…,p-1}, de manera que su suma estará comprendida entre 2 (=1+1) y 2p-2 (=p-1+p-1):

2≤ u(j)+u(p-j) ≤ 2p-2<2p, de modo que, siendo u(j)+u(p-j) múltiplo de p y positivo, solo puede ser:

u(j)+u(p-j) = p, y también u(p-j) ≡ -u(j) (mód. p). De aquí se deduce algo que necesitaremos después:

u(j) * u(p-j) ≡ -u(j)² (mód. p). (&&)

Sea ahora j€I, se tiene: (p-1)! /[j*(p-j)] es entero, pues ambos factores del denominador se hallan en (p-1)! y multiplicando los dos términos de la fracción por u(j) * u(p-j) se obtiene:

(p-1)! /[j*(p-j)] = (p-1)! * u(j) * u(p-j) / [j*(p-j) * u(j) * u(p-j)].

Pero por ser asociados, j*u(j) = 1+ múlt. p, (p-j) * u(p-j) =1+múlt. p, de manera que el denominador de la última fracción será 1+múlt.p, digamos 1+p*k ⱼ, donde k ⱼ representa cierto entero correspondiente a j.

Sustituyendo, y recordando (&&) :

(p-1)! /[j*(p-j)] = (p-1)! * [-u(j)²+múlt.p] / (1+p*k ⱼ)=

= [-u(j)² * (p-1)! + múlt.p] / (1+p*k ⱼ).

Regresando al principio, tendremos:

(p-1)!* Sₚ = ∑ (p-1)! /[j*(p-j)] = ∑ [-u(j)² * (p-1)! + múlt.p] / (1+p*k ⱼ), donde en el sumatorio ∑, recorre j todos los valores enteros desde 1 hasta p-1, ambos inclusive.

Suprimiendo denominadores:

(1+p*k₁) * (1+p*k ₂) * …*(1+p*kₚ-₁) * (p-1)!* Sₚ =

= ∑ [-u(j)² * (p-1)! + múlt.p] * (1+múlt.p) * …

* (1+múlt. p)…{p-2 factores} …(1+múlt. p); los factores ≡ 1 (mód. p) al multiplicarse vuelven a dar 1+múlt. p, de manera que:

(1+múlt. p) * (p-1)!* Sₚ =

=∑ [-u(j)² * (p-1)! + múlt.p] * (1+múlt.p).

Pero el teorema de Wilson nos da la congruencia: (p-1)! ≡ -1 (mód. p) válida para todo número primo, luego:

(1+múlt. p) * (p-1)! * Sₚ ≡ ∑ [-u(j)² * (-1) + 0] * 1 (mód. p), o bien:

(p-1)! * Sₚ ≡ ∑ (-1)* [-u(j)²] (mód. p) →

(p-1)! * Sₚ ≡ ∑ [u(j)²] (mód. p).

Pero como j varía desde 1 hasta p-1, los valores asociados u(1), u(2),…u(p-1) son los mismos 1,2,…p-1, tal vez permutados, es decir, quizás en otro orden.

Luego (p-1)! * Sₚ ≡∑ j² (mód. p), desde j=1 hasta j=p-1, o sea:

(p-1)! * Sₚ ≡ 1²+2²+…+(p-1)² (mód. p); sabemos que la suma de los cuadrados de los primeros n enteros positivos es 1²+2²+…+n²=n*(n+1)*(2n+1)/6, así que:

1²+2²+…+(p-1)² = (p-1)*p(2p-1)/6 = nº entero, para cualquier entero positivo p>1 (no solo para los primos). Luego:

(p-1)! * Sₚ ≡ (p-1)*p*(2p-1)/6 (mód. p). Ahora viene lo más obvio: p≥5, de modo que para que la división (p-1)*p*(2p-1)/6 sea exacta, y produzca un entero, el denominador 6 debe ser absorbido por (p-1)*(2p-1); y ocurre eso puesto que 6=2*3, y p es primo con 2 y con 3, por ser p≥5, así que no solo es entero (p-1)*p(2p-1)/6, sino que también es entero (p-1)*(2p-1)/6, y así es:

(p-1)*p*(2p-1)/6 = p * [(p-1)*(2p-1)/6], donde ambos factores son enteros, lo que implica que (p-1)*p(2p-1)/6 = 1²+2²+…+(p-1)² es múltiplo de p, o bien, en lenguaje de congruencias, que:

(p-1)*p(2p-1)/6 = 1²+2²+…+(p-1)² ≡ 0 (mód. p)

De este modo, (p-1)! * Sₚ ≡ 0 (mód. p).

No se olvide que Sₚ es una fracción, y solo se convierte en entero al multiplicar por (p-1)! Recordamos asimismo que al principio habíamos representado Sₚ como una fracción irreducible: Sₚ = aₚ/bₚ. Finalmente,

(p-1)! * aₚ/bₚ = entero y además (p-1)! * aₚ/bₚ ≡ 0 (mód. p), es decir, que

(p-1)! * aₚ/bₚ es un entero múltiplo de p. Llamémoslo p*z, donde z € Z.

(p-1)! * aₚ/bₚ = p*z → (p-1)! * aₚ = p*z *bₚ, luego p divide al producto

(p-1)! * aₚ, pero es primo con 1,2,…,p-1, puesto que, salvo el 1, no tiene ningún divisor en común con ningún entero anterior a él, por ser p primo; luego también es p primo con su producto, (p-1)!, de modo que p, siendo primo, divide al producto (p-1)! * aₚ, y no divide al primer factor (p-1)!, luego forzosamente, p tiene que dividir al segundo, y así, ¡al fin! probamos que p | aₚ C.Q.D.

Además, desde el principio habíamos probado que p no divide a bₚ, luego, en definitiva, en la fracción irreducible que representa la suma ∑ 1/[j*(p-j)] el numerador siempre es múltiplo de p, como había observado empíricamente quien formuló esta interesante pregunta.