¿Por qué se dice que hay más racionales que enteros? Ambos son infinitos y dos cantidades infinitas no pueden ser cuantificadas ni comparadas.

Nuestra noción de Infinito ha oscilado entre dos ideas: el infinito potencial y el infinito actual.

1. Infinito Potencial.

1.1. Lo primero que observamos es que no existe un “último” numero, incluso si contáramos durante un tiempo infinito no podríamos decir “este es el último número” o “este es el último dígito de π”. Por ello una primera aproximación es la del infinito como “algo potencial” algo a lo que se tiende sin llegar nunca.

1.2. El infinito potencial tenía un problema, el que plantean las paradojas de Zenón: Si lanzo una flecha contra una diana (digamos a 1m), la flecha debe pasar por la distancia media entre arquero y diana (1/2 m) y luego debe pasar por la distancia media entre esta posición y la diana (1/4 m) y luego la mitad de lo que le queda (1/8) y en general, antes de llegar debe atravesar una cantidad infinita de puntos medios 1/2, 1/4, 1/8… 1/2 ^n… si el infinito no se alcanza (es potencial) quiere decir que la flecha no alcanzaría la diana. ¡Absurdo! Luego algo tiene que estar mal en el infinito potencial.

2. Infinito real,

2.1. La matemática, actual se basa en los trabajos de un matemático llamado Cantor. Su idea fue la de emparejar elementos de conjuntos. Por ejemplo, aunque no nos dé tiempo a contar los ciclistas y las bicicletas que entran en la meta sabemos que hay los mismos. ¿Por qué? Porque cada ciclista monta una bicicleta y cada bicicleta lleva montado a ese ciclista (lo que llamamos una biyección).

2.2. Cantor mostro como podemos realizar una biyección entre por ejemplo:

- Los números naturales y los pares basta asociar cada natural n a su doble 2n.

- Los naturales y los enteros por ejemplo Si n es natural par le asociamos el numero entero n/2 (ej 2→1; 4→2, 6→3…). Si n es natural impar le asociamos el número entero negativo 1-n/2 (ej 1→0; 3→-1, 5→-2…). De este modo podemos emparejar ambos conjuntos.

- Igualmente mostró como emparejar los naturales ℕ con los racionales ℚ

De aquí concluyo que todos estos conjuntos ℕ, ℤ y ℚ tenían igual cardinal que llamo “Aleph cero”.

2.3. Cantor encontró que no podía emparejar los naturales ℕ con el conjunto de los reales o con el conjunto de subconjuntos de los naturales, (llamado “partes de ℕ”)

℘(ℕ) y concluyo que este era un infinito mayor. Y en general estableció una cadena creciente de infinitos.

¡Luego si podemos comparar cardinales infinitos!

3. Problemas del infinito Cantoriano.

3.1. El infinito de Cantor como se muestra en el video: https://www.youtube.com/watch?v=nMjyuTVMwlg&t=1013s

- Parte de tener que usar ideas contraintuitiva (como que el todo no es mayor que las partes en esta teoría, pues aunque ℕ sea una parte de ℤ y ambos de ℚ serían igual de grandes).

- No funciona en física que ha tenido que recurrir a la notación de Wheeler, donde la recta es un infinito menor que el plano y este menor que el espacio.

- No funciona en los ordinales donde si W es el primer ordinal infinito, hablamos de W

- Pero sobre todo genera paradojas insolubles, como la de la sucesión de polígonos que muestra el video (que es un desarrollo de la paradoja del jarrón de Ross-Littlewood donde si bien una sucesión tiende al infinito de los naturales y otra al del continuo los métodos cantorianos nos llevarían al mismo límite).

3.2. En realidad, el argumento cantoriano parte de un error de concepto como se muestra en el siguiente vídeo: