Resuelve las siguientes situaciones: a) Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud de sus diagonales si el ángulo de uno de sus vértices...
a) Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud de sus diagonales si el ángulo de uno de sus vértices es de 65º.
b) En una esquina de un campo triangular el ángulo interior mide 52º, los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 150 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado?
c) Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que dista del primero 42,6 metros; desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC ángulos BAC = 53,7º y BCA = 64º. Hallen la distancia entre A y B.
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a) Un rombo tiene lados de 10 cm, calculen la longitud de sus diagonales si el ángulo de uno de sus vértices es de 65º.
En un rombo, los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios. Por lo tanto, los ángulos adyacentes al ángulo de 65º miden 180 - 65 = 115º cada uno.
Además, en un rombo, las diagonales se cortan en ángulos rectos. Por lo tanto, los ángulos formados por las diagonales y los lados del rombo son de 90º.
Si representamos el rombo con el ángulo de 65º en la esquina superior izquierda, tenemos el siguiente diagrama:
65º / \ / \ / \ 53,7º 64º
El ángulo formado por las diagonales y el lado izquierdo del rombo mide 65º + 53,7º = 118,7º.
Por lo tanto, el ángulo formado por las diagonales y el lado derecho del rombo mide 180 - 118,7º = 61,3º.
La suma de los ángulos formados por las diagonales y los lados del rombo es igual a 180º. Por lo tanto, el ángulo formado por las diagonales mide 180 - 118,7 - 61,3 = 1,0º.
Este ángulo es muy pequeño, por lo que podemos considerar que las diagonales son perpendiculares.
Por lo tanto, las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectriz de los ángulos opuestos.
Si la diagonal mayor mide 2x, la diagonal menor mide x.
Por lo tanto, x² + x² = 10²
2x² = 100
x² = 50
x = √50
La diagonal mayor mide 2x = 2√50
La diagonal menor mide x = √50
Por lo tanto, la longitud de las diagonales del rombo es 2√50 cm y √50 cm.
b) En una esquina de un campo triangular el ángulo interior mide 52º, los lados que se encuentran en esa esquina miden 100 metros y 150 metros de largo. ¿Cuánto mide el tercer lado?
Si representamos el triángulo con el ángulo de 52º en la esquina superior izquierda, tenemos el siguiente diagrama:
52º / \ / \ / \ 150 100
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Por lo tanto, el ángulo formado por los lados de 100 metros y 150 metros mide 180 - 52 - 90 = 38º.
Aplicando el teorema del coseno, tenemos:
a² = b² + c² - 2bc * cos(A)
Donde:
- a es el lado opuesto al ángulo de 52º.
- b es el lado de 100 metros.
- c es el lado de 150 metros.
- A es el ángulo de 52º.
Por lo tanto, tenemos:
a² = 100² + 150² - 2 * 100 * 150 * cos(52º) a² = 2500 + 22500 - 30000 * cos(52º) a² = 25000 - 30000 * cos(52º) a = √(25000 - 30000 * cos(52º)) a = √(25000 - 30000 * 0,619) a = √(25000 - 18570) a = √6430 a = 80,3 metros
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