21. (*) Sean X1, . . . , Xn v.a. i.i.d.. Se define S = n∑ i=1 Xi. a) Calcular E (S) y V (S) para los siguientes casos: i. Xi ∼ Bi (1, p) . ii. Xi ∼...

a)

i. Si Xi

​∼Bi(1,p), entonces

E(X_i) = p
V(X_i) = p(1 - p)

Por lo tanto,

E(S) = n \cdot E(X_i) = n \cdot p
V(S) = n \cdot V(X_i) = n \cdot p(1 - p)

ii. Si Xi

​∼G(p), entonces

E(X_i) = 1/p
V(X_i) = 1/p^2

Por lo tanto,

E(S) = n \cdot E(X_i) = n/p
V(S) = n \cdot V(X_i) = n/p^2

b)

i. Usando el Ejercicio 18, sabemos que la distribución de S es una distribución binomial con parámetros n y p.

ii. Usando el Ejercicio 20, sabemos que la distribución de S es una distribución geométrica con parámetro p.

c)

De (a) y (b), podemos deducir que la esperanza y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial con parámetros n y p son n⋅p y n⋅p(1−p), respectivamente. De manera similar, la esperanza y la varianza de una variable aleatoria con distribución geométrica con parámetro p son 1/p y 1/p2

, respectivamente.