TRABAJO PRÁCTICO NRO 8 Razón de cambio. Diferencial: definición, interpretación gráfica, aplicaciones. L’hopital Cuestionario 1 a) ¿Además de la in...

1. La derivada de una función puede interpretarse de diversas formas, además de la interpretación geométrica. Por ejemplo, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en ese punto. La derivada de una función también puede utilizarse para calcular la velocidad instantánea de un móvil, la aceleración instantánea de un móvil, la tasa de cambio de una cantidad en el tiempo, y la pendiente de una curva en un punto.
2. La diferencial de una función es una medida de la inexactitud en el valor de la función debido a un cambio infinitesimal en la variable independiente. La diferencial de la variable independiente es la variable independiente multiplicada por la derivada de la función con respecto a la variable independiente. La diferencial de la variable dependiente es la derivada de la función con respecto a la variable independiente multiplicada por la diferencial de la variable independiente.

La diferencial de una función puede interpretarse geométricamente como el área del rectángulo tangente a la gráfica de la función en un punto, con el lado izquierdo del rectángulo paralelo a la variable independiente y el lado derecho del rectángulo paralelo a la variable dependiente.

A partir de la diferencial de una función se puede obtener la derivada de la misma, multiplicando la diferencial de la función por la derivada de la variable independiente. Reciprocamente, a partir de la derivada de una función se puede obtener la diferencial de la misma, dividiendo la derivada de la función por la derivada de la variable independiente.

Los diferenciales sucesivos son una secuencia de diferenciales de una función, donde cada diferencial sucesiva se obtiene multiplicando la diferencial anterior por la derivada de la variable independiente.

La diferencial de una función tiene diversas aplicaciones, incluyendo:

• El cálculo de la inexactitud en el valor de la función debido a un cambio infinitesimal en la variable independiente.
• El cálculo de la velocidad instantánea de un móvil.
• El cálculo de la aceleración instantánea de un móvil.
• El cálculo de la tasa de cambio de una cantidad en el tiempo.
• El cálculo de la pendiente de una curva en un punto.

La regla de L'Hopital es una regla que se puede utilizar para calcular límites indeterminados del tipo

lim f(x)/g(x) = x -> a

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a x = a, y f'(x) y g'(x) existen en un intervalo abierto que contiene a x = a, excepto en x = a.

La regla de L'Hopital establece que

lim f(x)/g(x) = x -> a = lim f'(x)/g'(x)

La regla de L'Hopital se puede aplicar para calcular límites indeterminados del tipo

lim f(x)/g(x) = x -> a

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a x = a, y f'(x) y g'(x) existen en un intervalo abierto que contiene a x = a, excepto en x = a.

La regla de L'Hopital se puede aplicar hasta un número finito de veces para calcular límites indeterminados. Sin embargo, si el límite sigue siendo indeterminado después de haber aplicado la regla de L'Hopital un número finito de veces, entonces el límite es indefinido.

La regla de L'Hopital no se puede aplicar para calcular límites indeterminados del tipo

lim f(x)/g(x) = x -> a

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a x = a, y f'(x) y g'(x) no existen en un intervalo abierto que contiene a x = a.

En estos casos, se deben utilizar otras técnicas para calcular el límite.