En el caso en que ????(????0) = 0, ℎ(????0) = 0 pero ????′(????0) ≠ 0 y ℎ′(????0) = 0 no puede aplicarse la regla de L'Hôpital. Es posible demostrar que lim ????→????0 ????(????) ℎ(????) no existe y que la magnitud de este cociente crece sin límite cuando ???? → ????0. En la variable compleja se presentan ejemplos que no se ven en cálculo diferencial real, como funciones que son continuas en todo el plano complejo, pero solo diferenciables en un punto, como el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.16 Sea ????(????) = |????|2, es decir ????(???? + ????????) = ????2 + ????2. En este caso ????(????, ????) = ????2 + ????2 y ????(????, ????) = 0. ???? es continua en todo número ????0 = ????0 + ????????0 ∈ ℂ pues por el teorema 2.2, lim (????,????)→(????0,????0) ????(????, ????) = ????0 2 + ????0 2 y lim (????,????)→(????0,????0) ????(????, ????) = 0 También ???? es diferenciable en ???? = 0 ya que ????′(0) = lim ℎ→0 ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = lim ℎ→0 |ℎ|2 ℎ = lim ℎ→0 ( ℎ ∙ ℎ̅ ℎ ) = lim ℎ→0 ℎ̅ = 0̅ = 0 Sin embargo, si ????0 ≠ 0, ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = |????0 + ℎ| 2 − |????0| 2 ℎ = (????0 + ℎ) ∙ (????0 + ????̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) − ????0 ∙ ????0̅ ℎ = = (????0 + ℎ) ∙ (????0̅ + ℎ̅) − ????0 ∙ ????0̅ ℎ = ????0 ∙ ℎ̅ + ℎ ∙ ????0̅ + ℎ ∙ ℎ̅ ℎ = ( ????0 ∙ ℎ̅ ℎ + ????0̅ + ℎ̅) Si nos aproximamos a 0 por el eje real ℎ = ℎ1 + 0????, lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = lim ℎ1→0 ( ????0 ∙ ℎ1 ℎ1 + ????0̅ + ℎ1) = ????0 + ????0̅ Pero, si nos aproximamos por el eje imaginario positivo, ℎ = 0 + ????ℎ2, ℎ2 > 0, lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = lim ℎ2→0 ( ????0 ∙ (−????ℎ2) ????ℎ2 + ????0̅ − ????ℎ2) = lim ℎ2→0 ( −????????0 ???? (−????) (−????) + ????0̅ − ????ℎ2) = lim ℎ2→0 ( −????0 1 + ????0̅ − ????ℎ2) = −????0 + ????0̅ como ????0 ≠ 0, entonces ????0 + ????0̅ ≠ −????0 + ????0̅, es decir, ????0 ≠ −????0 por lo que ???? no es diferenciable en ????0 ≠ 0. Ejemplo 2.17 La función ????(???? + ????????) = 3???? + 4???????? es continua pero no diferenciable en ℂ. En efecto, sea ????0 = ????0 + ????????0 ∈ ℂ un número arbitrario, entonces por el teorema 2.2, lim (????,????)→(????0,????0) ????(????, ????) = 3????0 y lim (????,????)→(????0,????0) ????(????, ????) = 4????0 por lo que ???? es continua en todo punto de ℂ. Por otro lado, lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = lim ℎ1+????ℎ2→0 [3(????0 + ℎ1) + 4????(????0 + ℎ2)] − [3????0 + 4????????0] ℎ1 + ????ℎ2 = lim ℎ1+????ℎ2→0 3ℎ1 + 4????ℎ2 ℎ1 + ????ℎ2 Si nos aproximamos al 0 por el eje real haciendo ℎ₂ = 0, lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = lim ℎ1→0 3ℎ1 + 4????(0) ℎ1 + ????(0) = 3 Pero, si nos aproximamos al 0 por el eje imaginario haciendo ℎ₁ = 0, lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ = lim ℎ2→0 3(0) + 4????ℎ2 0 + ????ℎ2 = 4 Como ambos límites son diferentes, no existe el límite. Como ????0 fue arbitrario, ???? no es diferenciable en ningún punto. Los ejemplos anteriores indican que no podemos confiarnos a la hora de afirmar la diferenciabilidad de una función compleja, por muy simple que pueda ser. Veamos condiciones que garantizan la diferenciabilidad de una función ????(????) en un punto. Teorema 2.3 Sea ???? una función compleja definida y continua en una región ???? que contiene al punto ????0 = ????0 + ????????0. Si ???? es diferenciable en ????₀, entonces: i. ????(????, ????) y ????(????, ????) poseen derivadas parciales en (????0, ????0), es decir, existen ????????(????0, ????0), ????????(????0, ????0), ????????(????0, ????0), ????????(????0, ????0) ii. Las derivadas parciales de ???? y ???? en (????0, ????0) satisfacen las condiciones ????????(????0, ????0) = ????????(????0, ????0), ????????(????0, ????0) = −????????(????0, ????0) llamadas ecuaciones de Cauchy-Riemann. Demostración Si ???? es diferenciable en ????₀, entonces el siguiente límite existe, ????′(????0) = lim ℎ→0 ????(????0 + ℎ) − ????(????0) ℎ Si ℎ es real ℎ = ℎ1 + 0????, el límite se puede escribir como lim ℎ1→0 ????(????0 + ℎ1, ????0) + ????????(????0 + ℎ1, ????0) − [????(????0, ????0) + ????????(????0, ????0)] ℎ1 = lim ℎ1→0 ????(????0 + ℎ1, ????0) − ????(????0, ????0) + ????????(????0 + ℎ1, ????0) − ????????(????0, ????0) ℎ1