Ejemplo 2.18 Revisemos nuevamente la función ????(????) = 3???? + 4???????? considerando las derivadas parciales ????????(????, ????) = 3, ????????(????, ????) = 0 ????????(????, ...

Ejemplo 2.18 Revisemos nuevamente la función ????(????) = 3???? + 4???????? considerando las derivadas parciales ????????(????, ????) = 3, ????????(????, ????) = 0 ????????(????, ????) = 0, ????(????, ????) = 4 observamos que en ningún punto (????, ????) se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que por el teorema 2.5 (aplicada desde la perspectiva de la contrarecíproca), ???? no es diferenciable en ningún punto de ℂ como ya lo habíamos probado antes. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el teorema anterior no proporcionan una condición suficiente para garantizar la existencia de la derivada en un número ????₀. Así, podemos encontrar funciones definidas en una región que contenga un punto ????₀ donde Re ????(????) e Im ????(????) satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero sin derivada en ????₀, como en el ejemplo siguiente. Ejemplo 2.19 Consideremos la función ????(????) = ????(???? + ????????) = |????????|1 2⁄ . En este caso, ????(????, ????) = |????????|1 2⁄ , ????(????, ????) = 0 Veamos que ???? y ???? satisfacen las hipótesis del teorema anterior en el punto ???? = 0, pero ???? no es derivable ahí. i. Por la definición de la derivada parcial con respecto a ???? en (0, 0): ????????(0, 0) = lim ℎ1→0 ????(0 + ℎ1, 0) − ????(0,0) ℎ1 = lim ℎ1→0 0 − 0 ℎ1 = lim ℎ1→0 0 = 0 (aquí ℎ1 ∈ ℝ). Análogamente se puede ver que ????????(0, 0) = 0. En el caso de la función ????, es trivial que ????????(0, 0) = 0 y ????????(0, 0) = 0. ii. Dado que todas las derivadas parciales son iguales a cero, se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (0, 0). Ahora, veamos que ???? no es diferenciable en ???? = 0. Sea ℎ = ℎ₁ + ????ℎ₂ ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = |ℎ1ℎ2| 1 2⁄ ℎ1 + ????ℎ2 si ℎ2 = 0, lim ℎ→0 ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = lim ℎ1→0 0 ℎ1 = lim ℎ1→0 0 = 0 pero si ℎ1 = ℎ2, lim ℎ→0 ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = lim ℎ1→0 |ℎ1ℎ1| 1 2⁄ ℎ1 + ????ℎ1 = lim ℎ1→0 |ℎ1| (1 + ????)ℎ1 = 1 1 + ???? lim ℎ1→0 |ℎ1| ℎ1 Si ℎ1 > 0 lim ℎ→0 ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = 1 1 + ???? lim ℎ1→0 ℎ1 ℎ1 = 1 1 + ???? lim ℎ1→0 1 = 1 1 + ???? Pero, si ℎ1 < 0 lim ℎ→0 ????(0 + ℎ) − ????(0) ℎ = 1 1 + ???? lim ℎ1→0 −ℎ1 ℎ1 = 1 1 + ???? lim ℎ1→0 − 1 = − 1 1 + ???? por lo que ???? el no es diferenciable en ???? = 0. El siguiente teorema ofrece condiciones suficientes en el teorema anterior para que ???? sea diferenciable en un número ????₀ ∈ ℂ. Observa la hipótesis adicional de continuidad en una región ???? que contenga a ????0. Teorema 2.4 Sea ????(???? + ????????) una función definida en una región ???? que contiene al punto ????0 = ????0 + ????????0. Si i. ????(????, ????) y ????(????, ????) poseen derivadas parciales continuas en un disco abierto |???? − ????0| < ???? centrado en (????0, ????0) en ???? y, ii. se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (????0, ????0), entonces ???? es diferenciable en ????0 y ????′(????0) = ????????(????0, ????0) + ????????????(????0, ????0) Ejemplo 2.20 Consideremos la función polinomial