Ejercicio 4: Calcular ∫+−γ)i2z()1z(zdz2, donde a) γ es cualquier contorno cerrado que contenga a z =1; b) γ es cualquier contorno cerrado que conte...

a) ∫γ

​z(z−1)2

i2

z

​dz=0

b) ∫γ

​z(z+2i)2

i2

z

​dz=iπ

c) ∫γ

​z(z−1)(z−2i)

i2

z

​dz=iπ

Para calcular estas integrales, usamos el teorema de Cauchy para la integral de contorno, que establece que la integral de contorno de una función analítica f(z) alrededor de un contorno cerrado γ es cero si y solo si f(z) no tiene ceros dentro de γ.

En el caso (a), la función f(z)=z(z−1)2

i2

z

​ tiene un cero en z=1. Por lo tanto, la integral de contorno es cero.

En el caso (b), la función f(z)=z(z+2i)2

i2

z

​ tiene un cero en z=−2i. Por lo tanto, la integral de contorno es iπ.

En el caso (c), la función f(z)=z(z−1)(z−2i)

i2

z

​ tiene ceros en z=1 y z=2i. Por lo tanto, la integral de contorno es iπ.