1 Multipolares exteriores para potencial especificado en una esfera:
(a) Permitiendo que ϕ(R, θ, φ) sean los valores especificados del potencial el...

Question

1 Multipolares exteriores para potencial especificado en una esfera:
(a) Permitiendo que ϕ(R, θ, φ) sean los valores especificados del potencial electrostático en la superficie de una esfera. Demuestre que la forma general de una expansión multipolar esférica exterior implica que
ϕ(r) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
Ylm(Ω)
∫
dΩ′ϕ(R,Ω)Y ∗l′m′(Ω
′), r > R
(b) Los ocho octantes de una capa esférica se mantienen a potenciales electrostáticos alternos
±V como se muestra a continuación en la vista en perspectiva (a), y mirando hacia abajo el eje z desde arriba en (b).
Utilice el resultado de la parte (a) para encontrar el comportamiento asintótico (r →∞) del potencial producido por la capa esférica.

Ed IA de Studenta · Answer

(a)La forma general de una expansión multipolar esférica exterior esϕ(r) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
QlmYlm(Ω)
donde los coeficientes Qlm se determinan a partir de las condiciones de contorno en la superficie de la esfera.En este caso, las condiciones de contorno son que el potencial en la superficie de la esfera es igual a ϕ(R, θ, φ). Por lo tanto, tenemosϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
R
)l+1
QlmYlm(Ω)
donde Ω es el ángulo esférico en la superficie de la esfera.Podemos escribir esto comoϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
QlmYlm(Ω)
Si integramos esta ecuación sobre la superficie de la esfera, obtenemos∫dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Qlm∫
dΩYlm(Ω)
La integral sobre la superficie de la esfera de Ylm(Ω) es igual a 4πδll′δmm′. Por lo tanto, tenemos∫dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4πδll′δmm′Qlm
Esta ecuación nos da una ecuación para los coeficientes Qlm.Qlm =1
4π
∫
dΩϕ(R)Ylm(Ω)
(b)En este caso, ϕ(R, θ, φ) es igual a ±V en los ocho octantes de la esfera. Por lo tanto, tenemosϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
1
4π
)
∫
dΩ±VYlm(Ω)Ylm(Ω)
Si integramos esta ecuación sobre la superficie de la esfera, obtenemos∫dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
1
4π
)
4πδll′δmm′±V
Esta ecuación nos da los coeficientes Qlm.Qlm =±V
4π
El potencial asintótico (r →∞) del potencial producido por la capa esférica esϕ(r) =∞∑l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
(
±V
4π
)Ylm(Ω)
Podemos usar la relación de convergencia de las series de potencias para obtenerϕ(r) =±V4π
(
R
r
)
dondeR/r ≪ 1En este caso, el potencial asintótico es un potencial escalar.

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