1 Multipolares exteriores para potencial especificado en una esfera: (a) Permitiendo que ϕ(R, θ, φ) sean los valores especificados del potencial el...

(a)

La forma general de una expansión multipolar esférica exterior es

ϕ(r) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
QlmYlm(Ω)

donde los coeficientes Qlm se determinan a partir de las condiciones de contorno en la superficie de la esfera.

En este caso, las condiciones de contorno son que el potencial en la superficie de la esfera es igual a ϕ(R, θ, φ). Por lo tanto, tenemos

ϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
R
R
)l+1
QlmYlm(Ω)

donde Ω es el ángulo esférico en la superficie de la esfera.

Podemos escribir esto como

ϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
QlmYlm(Ω)

Si integramos esta ecuación sobre la superficie de la esfera, obtenemos

∫

dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Qlm∫
dΩYlm(Ω)

La integral sobre la superficie de la esfera de Ylm(Ω) es igual a 4πδll′δmm′. Por lo tanto, tenemos

∫

dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
4πδll′δmm′Qlm

Esta ecuación nos da una ecuación para los coeficientes Qlm.

Qlm =

1
4π
∫
dΩϕ(R)Ylm(Ω)

(b)

En este caso, ϕ(R, θ, φ) es igual a ±V en los ocho octantes de la esfera. Por lo tanto, tenemos

ϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
1
4π
)
∫
dΩ±VYlm(Ω)Ylm(Ω)

Si integramos esta ecuación sobre la superficie de la esfera, obtenemos

∫

dΩϕ(R) =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
(
1
4π
)
4πδll′δmm′±V

Esta ecuación nos da los coeficientes Qlm.

Qlm =

±V
4π

El potencial asintótico (r →∞) del potencial producido por la capa esférica es

ϕ(r) =

∞∑

l=0
l∑
m=−l
(
R
r
)l+1
(
±V
4π
)Ylm(Ω)

Podemos usar la relación de convergencia de las series de potencias para obtener

ϕ(r) =

±V

4π
(
R
r
)

donde

R/r ≪ 1

En este caso, el potencial asintótico es un potencial escalar.