ϕ(θ = 0) = 0 y ϕ(θ = α) = V . Por geometría del problema, el potencial dentro de las placas debe ir aumentando desde θ = 0 hasta θ = α con una dependencia única del ángulo (en coordenadas cilíndricas). Luego
∇2ϕ = 1r2∂2ϕdθ2 = 0 =⇒ ϕ(r) = Aθ +B donde A y B son constantes por determinar. Usando las condiciones de borde, se obtiene que A = Vα y B = 0, por lo que
ϕ(r) = Vαθ
Por consiguiente, el campo eléctrico es
~E = −∇ϕ = − Vαrθ̂
conocido el campo eléctrico dentro de las placas, puede despejarse el valor de la densidad de carga sobre la placa inferior como
σ = ε0 ~E∣∣∣borde· n̂ = ε0 ~E(θ = 0) · ŷ = −ε0Vαx
ŷ · ŷ = −ε0Vαx
La carga total de una placa del condensador es
Q = ¨σdS = aˆ0d+aˆd−ε0Vαxdxdy = −ε0aVαln(d+ ad)
Finalmente, la capacitancia es
C = |Q|V = ε0aαln(d+ ad)