113. Comprueba si el triángulo ABC es rectángulo y calcula su área: a) A(1,1,7), B(7,5,2), C(3,7,3) b) A(4,1,5), B(6,4,1), C(2,6,1)

Solución a)

Para comprobar si un triángulo es rectángulo, podemos calcular el producto vectorial de dos de sus lados. Si el producto vectorial es cero, entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo entre los dos lados es de 90 grados.

A(1,1,7)
B(7,5,2)
C(3,7,3)
AB = (7 - 1, 5 - 1, 2 - 7) = (6, 4, -5)
AC = (3 - 1, 7 - 1, 3 - 7) = (2, 6, -4)
AB \times AC = (6, 4, -5) \times (2, 6, -4) = 0

Por lo tanto, el triángulo ABC es rectángulo.

El área del triángulo rectángulo se calcula como la mitad del producto de los catetos:

A = \frac{1}{2} \times b \times h
A = \frac{1}{2} \times 6 \times 5
A = 15

Respuesta:

El triángulo ABC es rectángulo y su área es 15.

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos los siguientes vectores:

A(4,1,5)
B(6,4,1)
C(2,6,1)
AB = (6 - 4, 4 - 1, 1 - 5) = (2, 3, -4)
AC = (2 - 4, 6 - 1, 1 - 5) = (-2, 5, -4)
AB \times AC = (2, 3, -4) \times (-2, 5, -4) = 0

Por lo tanto, el triángulo ABC es rectángulo.

El área del triángulo rectángulo se calcula como la mitad del producto de los catetos:

A = \frac{1}{2} \times b \times h
A = \frac{1}{2} \times 2 \times 5
A = 5

Respuesta:

El triángulo ABC es rectángulo y su área es 5.