Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y corta perpendicularmente a la recta s: a) A(4,6,4) ; s  x-5 2 = 2-y = 4-z b) A(4,...

a)

La ecuación general de una recta en tres dimensiones es:

ax + by + cz + d = 0

Donde a, b y c son los coeficientes de la recta, y d es la ordenada al origen.

Para que dos rectas se corten perpendicularmente, el producto de sus vectores directores debe ser igual a 0.

Los vectores directores de las rectas r y s son:

v = (1, -3, -1)
v1 = (5/2, -1, -1)

El producto de estos vectores es:

v · v1 = 1 - 15/2 - 1 = -13/2

Por lo tanto, el vector director de la recta r debe ser perpendicular a v y v1. Este vector puede ser:

v = v1 x v = (-1, 11/2, 1)

La ecuación de la recta r es:

(x - 4) - (y - 6) + 1(z - 4) = 0

Resolviendo esta ecuación, se obtiene la ecuación de la recta r:

2x - y - z - 12 = 0

b)

Los vectores directores de las rectas r y s son:

v = (1, -5, 3)
v1 = (7, -1, -3)

El producto de estos vectores es:

v · v1 = 7 - 5 - 9 = -1

Por lo tanto, el vector director de la recta r debe ser perpendicular a v y v1. Este vector puede ser:

v = v1 x v = (-2, -1, 10)

La ecuación de la recta r es:

(x - 4) - 2(y - 1) + 10(z - 6) = 0

Resolviendo esta ecuación, se obtiene la ecuación de la recta r:

2x + y - 12z + 82 = 0

En ambos casos, la recta r pasa por el punto A y corta perpendicularmente a la recta s.

Respuesta:

a)

2x - y - z - 12 = 0

b)

2x + y - 12z + 82 = 0