Sea f:(-π,π)→ℜ la función derivable que para x≠0 verifica f(x) = ln(1+x^2)/sin(x) (1) ¿Cuánto vale f(0)? (2) ¿Cuánto vale f ´(0)?

Para calcular f(0) y f'(0), primero consideremos la ecuación (1) y luego apliquemos las reglas de derivación para encontrar f'(x).

(1) Para calcular f(0), simplemente sustituimos x=0 en la ecuación original:

f(0) = ln(1+0^2)/sin(0) = ln(1)/sin(0) = 0/0

Dado que obtenemos una indeterminación de 0/0, necesitamos aplicar la regla de L'Hôpital para resolverla. Derivaremos el numerador y el denominador por separado y luego evaluaremos el límite:

f(0) = lim(x -> 0) [d/dx(ln(1+x^2)) / d/dx(sin(x))]

Ahora, calculemos las derivadas:

f(0) = lim(x -> 0) [ (2x) / cos(x) ]

Ahora, evaluemos el límite cuando x tiende a 0:

f(0) = (2 * 0) / cos(0) = 0 / 1 = 0

Entonces, f(0) = 0.

(2) Para calcular f'(0), derivemos la función original utilizando las reglas de derivación. Primero, aplicaremos la regla del cociente y luego derivaremos las funciones individuales:

f(x) = ln(1+x^2)/sin(x)

f'(x) = [sin(x) * d/dx(ln(1+x^2)) - ln(1+x^2) * d/dx(sin(x))] / sin^2(x)

Usamos la regla del producto para derivar los términos:

f'(x) = [sin(x) * (2x / (1+x^2)) - ln(1+x^2) * cos(x)] / sin^2(x)

Ahora, evaluemos f'(0):

f'(0) = [sin(0) * (2 * 0 / (1+0^2)) - ln(1+0^2) * cos(0)] / sin^2(0)

f'(0) = [0 - 0] / 0 = 0 / 0

De nuevo, obtenemos una indeterminación de 0/0, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital:

f'(0) = lim(x -> 0) [d/dx(sin(x) * (2x / (1+x^2)) - ln(1+x^2) * cos(x)) / d/dx(sin^2(x))]

Ahora, calculamos las derivadas:

f'(0) = lim(x -> 0) [(2x * cos(x) * (1+x^2) - 2x * (sin(x))^2 - cos(x) * (2x) * ln(1+x^2)) / (sin^2(x))]

Evaluamos el límite:

f'(0) = (0 * 1 * (1+0^2) - 0 * (sin(0))^2 - 1 * 0 * ln(1+0^2)) / (sin^2(0)) = (0 - 0 - 0) / (0) = 0 / 0

Nuevamente, tenemos una indeterminación de 0/0, por lo que aplicamos la regla de L'Hôpital nuevamente:

f'(0) = lim(x -> 0) [(2 * (1+x^2) - 2x * sin(x) - 2x * cos(x) * ln(1+x^2)) / (2 * sin(x) * cos(x))]

Evaluamos el límite final:

f'(0) = (2 * (1+0^2) - 2 * 0 * sin(0) - 2 * 0 * cos(0) * ln(1+0^2)) / (2 * sin(0) * cos(0)) = (2 - 0 - 0) / (0) = 2 / 0

Obtenemos una indeterminación de 2/0, lo que indica que la derivada no existe en x=0.