2.2.- Producto de un polinomio por un escalar: Dado un polinomio ???? ∈ ????[????], el producto de P por un escalar ????, es otro polinomio ???? ????(????), el c...

La afirmación es correcta. El producto de un polinomio por un escalar es otro polinomio que se obtiene multiplicando cada coeficiente del polinomio original por el escalar.

Formalmente, dado un polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n ∈ R[x], y un escalar k ∈ R, el producto de P(x) por k es el polinomio:

kP(x) = ka0 + ka1x + ka2x^2 + ... + kanx^n

Este polinomio se obtiene multiplicando cada coeficiente de P(x) por k.

Por ejemplo, si P(x) = x^2 + 2x + 1, y k = 3, entonces kP(x) = 3x^2 + 6x + 3.

El producto de un polinomio por un escalar tiene las siguientes propiedades:

• Es asociativo: (kp)q = k(pq)
• Es conmutativo: kP = Pk
• Es distributivo: k(P + Q) = kP + kQ

Estas propiedades se pueden demostrar utilizando las propiedades de la multiplicación de polinomios y de la multiplicación de números reales.

El producto de un polinomio por un escalar tiene algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, se puede utilizar para escalar los valores de un polinomio, para simplificar un polinomio, o para multiplicar dos polinomios.