Soluciones de los ejercicios del examen de Análisis Matemático Primer curso de Ingeniería Informática - septiembre de 2005 Ejercicio 1. Calcular las dimensiones (radio y altura) del depósito de máximo volumen formado por un cilindro circular recto cerrado en sus dos extremos por semiesferas cuya superficie total es igual a 2πm2. Solución. Llamemos r al radio y h a la altura del cilindro. La superficie total del depósito es 2πrh+4πr2 y su volumen es πr2h+ 43 πr3. Nos dicen que 2πrh+4πr2 = 2π, de donde se sigue que h = 1/r−2r. Por tanto el volumen es igual a πr2(1/r−2r)+ 43 πr3 = π ( r− 23 r3 ). Se trata, pues, de calcular el máximo absoluto de la función f (r) = 3r− 2r3 donde r > 0. Como f ′(r) = 3−6r2, el único punto del intervalo ]0,+∞[ donde se anula la derivada es r = 1/ √ 2. Se tie- ne que f ′(r) =−6(r2−1/2) =−6(r +1/ √ 2)(r−1/ √ 2) por lo que f ′(r) > 0 para 0 < r < 1/ √ 2 y f ′(r) < 0 para r > 1/ √ 2. Por tanto f es creciente en el intervalo ]0,1/ √ 2] y decreciente en el intervalo [1/ √ 2,+∞[. Concluimos que en el intervalo ]0,+∞[ la función f alcanza en el punto 1/ √ 2 un máximo absoluto. Las dimensiones del depósito de máximo volumen en las condiciones del enunciado son r = 1/ √ 2 y h = √ 2−2/ √ 2 = 0. Esto es, el depósito de máximo volumen en las condiciones del enunciado es una esfera de radio 1/ √ 2 metros.