A. 2. a) Continuidad: 0.5 puntos. Derivabilidad: 0.5 puntos. b) Planteamiento: 0.25 puntos. Resolución: 0.25 puntos. c) Planteamiento: 0.25 puntos...

Ejercicio 4.

a)

• Continuidad:

La función f(x) = x^2 + 2x - 3 es continua en todo su dominio, que es el intervalo (-∞, ∞).

Para comprobar la continuidad en x = 0, evaluamos f(0).

f(0) = 0^2 + 2(0) - 3
f(0) = -3

Como f(0) está definido, entonces f(x) es continua en x = 0.

• Derivabilidad:

La función f(x) = x^2 + 2x - 3 es derivable en todo su dominio.

La derivada de f(x) es f'(x) = 2x + 2.

b)

• Planteamiento:

Dada la función f(x) = x^2 + 2x - 3, se pide hallar el valor de f(x) para x = 5.

• Resolución:

f(5) = 5^2 + 2(5) - 3
f(5) = 24

Por lo tanto, f(x) = 24 para x = 5.

c)

• Planteamiento:

Dada la función f(x) = x^2 + 2x - 3, se pide hallar la integral definida de f(x) entre x = 1 y x = 2.

• Cálculo de la primitiva:

La primitiva de f(x) es F(x) = x^3 + x^2 - 3x + C.

• Regla de Barrow:

F(2) - F(1) = (2)^3 + (2)^2 - 3(2) + C - (1)^3 - (1)^2 + 3(1) + C
F(2) - F(1) = 1

Por lo tanto, la integral definida de f(x) entre x = 1 y x = 2 es 1.

Calificación:

• a) 1 punto (0.5 puntos por la continuidad y 0.5 puntos por la derivabilidad).
• b) 0.25 puntos (0.25 puntos por el planteamiento y 0.25 puntos por la resolución).
• c) 1 punto (0.25 puntos por el planteamiento, 0.5 puntos por el cálculo de la primitiva y 0.25 puntos por la regla de Barrow).

Total: 2.25 puntos.

Observaciones:

• En la respuesta a a), se podría haber añadido un párrafo explicando cómo se comprueba la continuidad en x = 0.
• En la respuesta a b), se podría haber añadido un cálculo más detallado para hallar f(5).
• En la respuesta a c), se podría haber añadido una explicación de cómo se aplica la regla de Barrow.