A. 3. a) Cálculo del vector: 0.25 puntos. Determinación del punto: 0.25 puntos. b) Planteamiento: 0.75 puntos. Resolución: 0.5 puntos. c) Plante...

Ejercicio 3.

a)

• Cálculo del vector:

v = (2, -1)

• Determinación del punto:

P = (2, -1)

b)

• Planteamiento:

Dada la función f(x) = x^2 + 2x - 3, se pide hallar los intervalos en los que f(x) es creciente, decreciente y constante.

• Resolución:

Para hallar los intervalos en los que f(x) es creciente, decreciente o constante, debemos hallar sus puntos críticos y los intervalos en los que la derivada f'(x) es positiva o negativa.

La derivada de f(x) es f'(x) = 2x + 2.

Los puntos críticos de f(x) son los valores de x para los que f'(x) = 0.

2x + 2 = 0
x = -1

Por lo tanto, el único punto crítico de f(x) es x = -1.

La derivada de f(x) es positiva para x < -1 y x > -1/2.

La derivada de f(x) es negativa para -1/2 < x < -1.

Por lo tanto, f(x) es creciente para x < -1 y x > -1/2.

f(x) es decreciente para -1/2 < x < -1.

f(x) es constante para x = -1/2.

c)

• Planteamiento:

Dada la función f(x) = x^2 + 2x - 3, se pide hallar el mínimo absoluto de f(x).

• Resolución:

El mínimo absoluto de f(x) se alcanza en un extremo de su dominio, que es el intervalo (-∞, ∞).

La derivada de f(x) es f'(x) = 2x + 2.

f'(x) = 0 para x = -1.

Por lo tanto, el único extremo de f(x) es x = -1.

Para comprobar si x = -1 es un mínimo absoluto, debemos calcular f(-1).

f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3
f(-1) = -5

Como f(-1) < f(x) para todo x en el dominio de f(x), entonces x = -1 es un mínimo absoluto de f(x).

Por lo tanto, el mínimo absoluto de f(x) es f(-1) = -5.

Calificación:

• a) 0.5 puntos (0.25 puntos por el cálculo del vector y 0.25 puntos por la determinación del punto).
• b) 1.5 puntos (0.75 puntos por el planteamiento y 0.75 puntos por la resolución).
• c) 1 punto (0.5 puntos por el planteamiento y 0.5 puntos por la resolución).

Total: 3 puntos.