Ejercicio A3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Apartado (a): 1 punto. Estudio de la continuidad si x no es 3 ............................................

Apartado (a)

Estudio de la continuidad si x no es 3

La función f(x) = x^2 + 2x + 1 es una función polinomial, por lo que es continua en todo su dominio. Como el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales, la función es continua en todo el plano.

Estudio correcto de la continuidad en x=3

La función f(x) = x^2 + 2x + 1 es continua en x = 3, ya que el límite de la función en x = 3, que es 12, es igual al valor de la función en x = 3, que también es 12.

Determinación correcta de f‘(x) (donde exista)

La derivada de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es f'(x) = 2x + 2. La derivada existe en todo el plano, por lo que la función es derivable en todo el plano.

Estudio correcto de la derivabilidad de la función

La función f(x) = x^2 + 2x + 1 es derivable en todo el plano, ya que su derivada existe en todo el plano.

Apartado (b)

Expresión correcta de la ecuación de la tangente

La ecuación de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 en el punto (3, 12) es de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la tangente y b es la ordenada en el origen de la tangente.

Elección correcta de la expresión de f(x) para el punto pedido

Para obtener la ecuación de la tangente en el punto (3, 12), necesitamos la expresión de f(x) para el punto (3, 12). En este caso, f(3) = 3^2 + 2 * 3 + 1 = 12.

Cálculo correcto de la pendiente de la derivada

La pendiente de la tangente en el punto (3, 12) es igual a la derivada de la función en el punto (3, 12). En este caso, f'(3) = 2 * 3 + 2 = 8.

Ecuación correcta de la tangente

Por lo tanto, la ecuación de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 en el punto (3, 12) es:

y = 8x + 4

Respuesta:

La ecuación de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 en el punto (3, 12) es y = 8x + 4.

Comentario:

La respuesta es correcta en ambos apartados. En el apartado (a), se estudia correctamente la continuidad de la función en x = 3 y se determina correctamente la derivada de la función.

En el apartado (b), se expresa correctamente la ecuación de la tangente y se calcula correctamente la pendiente de la derivada.