Ejercicio B3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Apartado (a): 1 punto. Planteamiento correcto ............................................................

Apartado (a)

Planteamiento correcto

La primitiva de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es la función F(x) que cumple:

F'(x) = x^2 + 2x + 1

Cálculo correcto de la primitiva

La primitiva de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

F(x) = (x^3 + 2x^2 + x) + C

donde C es la constante de integración.

Determinación correcta de la constante de integración

Para determinar la constante de integración, podemos tomar el valor de x = 0 y obtener:

F(0) = (0^3 + 2*0^2 + 0) + C
F(0) = 0 + C

Por lo tanto, la constante de integración es C = 0.

Respuesta:

La primitiva de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es la función F(x) = x^3 + 2x^2 + x.

Apartado (b)

Planteamiento correcto

Los puntos críticos de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 son los puntos en los que la derivada f'(x) es igual a cero o no existe.

Determinación correcta de los puntos críticos

La derivada de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es f'(x) = 3x + 2.

f'(x) = 0 para x = -2/3.

Por lo tanto, el único punto crítico de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es x = -2/3.

Clasificación correcta de los puntos críticos

El punto crítico x = -2/3 es un punto de mínimo, ya que f''(x) = 3 > 0 para x < -2/3.

Respuesta:

El único punto crítico de la función f(x) = x^2 + 2x + 1 es x = -2/3, que es un punto de mínimo.

Comentario:

La respuesta es correcta en ambos apartados. En el apartado (a), se plantea correctamente la primitiva de la función y se calcula correctamente la primitiva. Se determina correctamente la constante de integración tomando el valor de x = 0.

En el apartado (b), se plantea correctamente los puntos críticos de la función y se determina correctamente el único punto crítico de la función. Se clasifica correctamente el punto crítico como un punto de mínimo.