A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.
Sean la recta r ≡
{
−x− y + z = 0
2x+ 3y − z + 1 = 0
y el plano π ≡ 2x+ y − z + 3 = 0. Se pide:
a) (0.75 pu...

Question

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos.Sean la recta r ≡{−x− y + z = 02x+ 3y − z + 1 = 0y el plano π ≡ 2x+ y − z + 3 = 0. Se pide:a) (0.75 puntos) Calcular el ángulo que forman r y π.b) (1 punto) Hallar el simétrico del punto de intersección de la recta r y el plano π con respecto al planoz − y = 0.c) (0.75 puntos) Determinar la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π.

Ed IA de Studenta · Answer

Solución a)El vector normal a la recta r esn = (−1, −1, 1)
El vector normal al plano π esn' = (2, 1, −1)
El ángulo entre dos vectores se puede calcular usando la siguiente fórmula:cos θ = n ⋅ n' / |n| |n'|
Sustituyendo, obtenemoscos θ = (−1, −1, 1) ⋅ (2, 1, −1) / |(−1, −1, 1)| |(2, 1, −1)|
cos θ = 3 / √7
θ = arccos(3 / √7)
θ ≈ 57.06°
Por lo tanto, el ángulo entre la recta r y el plano π es 57.06°.Solución b)Para encontrar el punto de intersección de la recta r y el plano π, podemos resolver el sistema de ecuaciones dado. El sistema se puede resolver de la siguiente manera:−x− y + z = 0
2x+ y − z + 3 = 0
3x+ 2y = 3
x+ y = 1
El punto de intersección es (1, 0, 1).El punto simétrico del punto (1, 0, 1) con respecto al plano z − y = 0 es (1, 0, −1).Por lo tanto, la respuesta es (1, 0, −1).Solución c)La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano π es la recta que pasa por el punto de intersección de la recta r y el plano π y es perpendicular al plano π.El vector normal al plano π es (2, 1, −1). El vector director de la recta r esd = (2, 3, −1)
El vector normal a la proyección ortogonal es el vector ortogonal a los vectores (2, 1, −1) y (2, 3, −1).n' = (2, 1, −1) × (2, 3, −1)
n' = (−5, 7, 1)
La ecuación de la proyección ortogonal es de la formaax + by + cz + d = 0
donde a, b, c, y d son constantes.El punto de intersección de la recta r y el plano π es (1, 0, 1). Sustituyendo este punto en la ecuación de la proyección ortogonal, obtenemosa + 0 + c + d = 0
a + c + d = 0
El vector normal a la proyección ortogonal es (2, 1, −1). Sustituyendo este vector en la ecuación de la proyección ortogonal, obtenemos2a + b - a + d = 0
b - 1 + d = 0
b + d = 1
Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemosa = −1
b = 2
c = 0
d = 1
Por lo tanto, la ecuación de la proyección ortogonal es−x + 2y + z + 1 = 0
O, equivalentemente,x - 2y - z = -1
Respuesta:Solución a:Ángulo: 57.06°Solución b:Simétrico: (1, 0, −1)Solución c:Ecuación: x - 2y - z = -1

A.3. Calificación máxima: 2.5 puntos. Sean la recta r ≡ { −x− y + z = 0 2x+ 3y − z + 1 = 0 y el plano π ≡ 2x+ y − z + 3 = 0. Se pide: a) (0.75 pu...

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