Dados la matriz A = 0 1 −1a −3 a a− 1 −3 a y el vector B = 01 2 , determinar el valor o valores de a para los que se verifica: a) (0.5 puntos...

Solución:

a)

Bt (A+At)B = (0, 1) * ((0 1 −1a −3 a) + (0 −1a −3 a 1−a)) * (0, 1)
= (0, 1) * ((0 −1a −3 a 1−a) * (0, 1))
= (0, 1) * ((1 −1a −3a + 1) * (0, 1))
= (0, 1) * ((−1a + 2) * (0, 1))
= (0, 1) * (−2a, 2)
= −2a * 0 + 2 * 1
= 2

Por lo tanto, Bt (A+At)B = 6 si y solo si 2 = 6. Como 2 no es igual a 6, no existe ningún valor de a que cumpla esta condición.

Respuesta: No existe ningún valor de a que cumpla esta condición.

b)

El sistema de AX = B no tiene solución si y solo si el determinante de A es igual a cero. El determinante de A es:

|A| = |(0 1 −1a −3 a) (a− 1 −3 a 1−a)|
= (0 * (1−a) - (−1a) * (a− 1)) - (−1a * (−3a) - (1) * (a− 1))
= (1a^2 + 3a)

Por lo tanto, el sistema de AX = B no tiene solución si y solo si 1a^2 + 3a = 0. Esta ecuación tiene dos soluciones:

a = 0
a = −3

Respuesta: Los valores de a que cumplen esta condición son a = 0 y a = −3.

c)

Una matriz es invertible si y solo si su determinante es diferente de cero. Como ya se demostró que el determinante de A es igual a cero para a = 0 y a = −3, estos son los únicos valores de a que cumplen esta condición.

Respuesta: Los valores de a que cumplen esta condición son a = 0 y a = −3.