Hallar analíticamente el o los valores de ???? ∈ ℝ para que se cumpla la siguiente igualdad

log
5

(5????4 + 15) − 2 ∙ log
5

(????2 + 1) = 1

Respuesta

Los argumentos de los logaritmos involucrados en la ecuación son números estrictamente positivos cualquiera sea el valor de ????.

Debemos resolver la igualdad

log
5

(5????4 + 15) − log
5

(????2 + 1)2 = 1

Aplicando la propiedad del logaritmo "???? log5 ???? = log5 ???????? " , la igualdad anterior queda como

log
5

(5????4 + 15) − log
5

(????2 + 1)2 = 1

Aplicando la propiedad del logaritmo " log5 ???? − log5 ???? = log5 ????/???? tenemos que

log5

(5????4 + 15)

(????2 + 1)2
= 1

Recordamos que

log
5

???? = 1 ⇔ 51 = ???? ∴ 5 = ????

Entonces.

5 =
(5????4 + 15)
(????2 + 1)2

5 ∙ (????2 + 1)2 = (5????4 + 15)

5 ∙ (????4 + 2????2 + 1) = 5????4 + 15

5????4 + 10????2 + 5 = 5????4 + 15

10????2 + 5 = 15

10????2 = 10

????2 = 1 ⇔ ???? = −1 ó ???? = 1

Existen dos soluciones para nuestro problema: ???? = −1 ó ???? = 1