ANÁLISIS MATEMÁTICO I
EXAMEN FINAL – 18 DE DICIEMBRE DE 2012

APELLIDO Y NOMBRES: CURSÓ CON: EN EL AÑO:

TEMAS 1) 2) 3) 4) 5) CORRECTOR NOTA

CALIFICACIÓN

1) i)Enunciar en forma completa, precisa y detallada el Teorema del Valor Medio del Cálculo

Diferencial (Lagrange). Esquematizar gráficamente. ii) Siendo f una función impar y derivable para

todo x real, demostrar empleando el teorema que para todo b > 0 existe un número c œ (-b ,b) tal que

f ‘ (c) = f (b) / b. iii) Aplicar lo enunciado en ii) a f (x) = x
3
para x œ [-1, 1], determinando los números c

correspondientes y también esquematizar gráficamente la situación.

2) Empleando un criterio apropiado e indicándolo, mostrar que: i) la serie )(arctan
1

n
n

∑
∞
=
es divergente;

ii) la serie que comienza con .......
5.4.3.24.3.23.22

1
5432

++++++ eeee
e es convergente.

3) Un móvil se desplaza sobre una recta con una aceleración variable dada en m/s
2
por la función

)sin(21)( tta −= . Sabiendo que parte del reposo y desde la coordenada s = 1 sobre la recta, determinar

su posición s(t) sobre la recta luego de p segundos de haber partido. ¿Pasa por el origen de coordenadas

alguna vez? Justificar. (Recordar que )()( tv
dt

d
ta = y )()( ts
dt
d
tv = , donde v(t) y s(t) son las funciones

que definen la velocidad y la posición del móvil en función del tiempo t, respectivamente).

4) ¿Cuál es el valor del área de la región limitada por la gráfica de

x

y
1= y su asíntota horizontal,

para |x| § 1? Graficar la región.

5) Representar gráficamente la región del plano xy tal que xy sin≤ , 0≥y y 4/114/ ππ ≤≤ x . ¿Cuál

es el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar esta región alrededor del eje x?

(Recordar que 2/))2cos(1(sin2 xx −= ).
Enunciar en forma completa, precisa y detallada el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial (Lagrange). Esquematizar gráficamente.
Siendo f una función impar y derivable para todo x real, demostrar empleando el teorema que para todo b > 0 existe un número c œ (-b ,b) tal que f ‘ (c) = f (b) / b.
Aplicar lo enunciado en ii) a f (x) = x3 para x œ [-1, 1], determinando los números c correspondientes y también esquematizar gráficamente la situación.
Empleando un criterio apropiado e indicándolo, mostrar que: i) la serie )(arctan(1/n)) es divergente; ii) la serie que comienza con 5.4.3.24.3.23.22/1,5432++++++ eeee es convergente.
Un móvil se desplaza sobre una recta con una aceleración variable dada en m/s2 por la función sin(2t-1)(a). Sabiendo que parte del reposo y desde la coordenada s = 1 sobre la recta, determinar su posición s(t) sobre la recta luego de p segundos de haber partido. ¿Pasa por el origen de coordenadas alguna vez? Justificar. (Recordar que v(t) = ds/dt y a(t) = dv/dt, donde v(t) y s(t) son las funciones que definen la velocidad y la posición del móvil en función del tiempo t, respectivamente).
¿Cuál es el valor del área de la región limitada por la gráfica de y = 1/x y su asíntota horizontal, para |x| ≤ 1? Graficar la región.
Representar gráficamente la región del plano xy tal que xy sin≤ , 0≥y y 4/114/ ππ ≤≤ x. ¿Cuál es el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer girar esta región alrededor del eje x? (Recordar que 2/))2cos(1(sin2 xx −= ).