ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL – 1 DE MARZO DE 2011 TEMAS 1 2 3 4 5 CORRECTOR NOTA CALIFICACIÓN APELLIDO Y NOMBRES: CURSO: AÑO: 1) Empleando la definición de derivada de una función en un valor de su dominio, evaluar si ( )1)( −= xexxf es derivable en x = 0 y en caso afirmativo, dar el valor de la derivada en dicho x. 2) Analizar la función xe x xf −= 1 )( obteniendo dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas, intervalos de decrecimiento, intervalos de crecimiento, extremos, puntos de inflexión, imagen y esbozo de su gráfica coherente con los resultados obtenidos. 3)Empleando propiedades de la integral definida, demostrar i) que si f es una función par y es continua para x œ [-a,a] con a > 0, es ∫ ∫− = a a a dxxfdxxf 0 )(2)( ; ii) que si f es una función impar y es continua para x œ [-a,a] con a > 0, es ∫− = a a dxxf 0)( . 4) Determinar si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso. En caso de ser verdadero explicar claramente por qué. En caso de ser falso explicar claramente por qué o dar un ejemplo que contradiga el enunciado: i) si f ’ es continua para x œ [a,b] entonces )()()(' afbfdxxf b a −=∫ ; ii) ∫∫ −− +=++ 1 1 2 1 1 2 )(2)( dxcaxdxcbxax ; iii) ∫− = + +− 1 1 22 93 0) )1( sin 6( dx x x xx ; iv) ∫ − 3 0 32 )( dxxx representa el valor numérico del área limitada por la gráfica de 32)( xxxf −= y el eje x; v) Si f es continua para x œ [a,b], entonces ∫ b a dxxf )( existe. 5) Evaluar el área limitada por las gráficas de xexyy −−== )1(,0 para ),1[ ∞∈x .
1) Empleando la definición de derivada de una función en un valor de su dominio, avaliar se (1-x)e^x é derivável em x=0 e, em caso afirmativo, dar o valor da derivada neste x.
2) Analisar a função xe^(x/(1-x)), obtendo domínio, interseções com os eixos, assíntotas, intervalos de decrescimento, intervalos de crescimento, extremos, pontos de inflexão, imagem e esboço de sua gráfica coerente com os resultados obtidos.
3) Empregando propriedades da integral definida, demonstrar i) que se f é uma função par e é contínua para x œ [-a,a] com a > 0, é ∫ ∫− = a a a dxxfdxxf 0 )(2)( ; ii) que se f é uma função ímpar e é contínua para x œ [-a,a] com a > 0, é ∫− = a a dxxf 0)( .
4) Determinar se cada um dos seguintes enunciados é verdadeiro ou falso. Em caso de ser verdadeiro, explicar claramente por quê. Em caso de ser falso, explicar claramente por quê ou dar um exemplo que contradiga o enunciado: i) se f' é contínua para x œ [a,b], então )()()(' afbfdxxf b a −=∫ ; ii) ∫∫ −− +=++ 1 1 2 1 1 2 )(2)( dxcaxdxcbxax ; iii) ∫− = + +− 1 1 22 93 0) )1( sin 6( dx x x xx ; iv) ∫ − 3 0 32 )( dxxx representa o valor numérico da área limitada pela gráfica de 32)( xxxf −= e o eixo x; v) se f é contínua para x œ [a,b], então ∫ b a dxxf )( existe.
5) Avaliar a área limitada pelas gráficas de x*e^x e y=1-x para x entre 0 e 1.