ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL – 31 DE JULIO DE 2012
1) a) Definir Infinitésimo. Enuncia las propiedades algebraicas de suma, producto y cociente entre infinitésimos. Comparación de los infinitésimos. b) Dada la función xx

xx
xf

2

4
)(

2

2

+
−
= , analiza la continuidad en los puntos x = 0 y x = - 2. En caso de existir discontinuidades, indica en cada caso de qué tipo son.
2) Dada la función: 34 24 +−= xxy
a)Verifica que la recta tangente a la curva en su punto máximo local, corta a la misma en dos puntos más. b) Analiza e indica todos los extremos de la función, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, intervalos de concavidad y realiza la gráfica.
3) a) Analiza si cada una de las siguientes proposiciones se puede fundamentar con alguno de los teoremas del cálculo diferencial, y analiza si cada proposición es verdadera o falsa: i) Sea 3xy = en el intervalo [ -1; 1], hay sólo un punto donde la tangente a la función es paralela a la secante que pasa por (1; f(1) ) y (-1; f(-1) ). ii) Si la gráfica de una función derivable tiene 3 intersecciones con el eje x, debe tener al menos dos puntos de tangente horizontal. b) Calcula usando diferenciales, el valor aproximado de 3 5,8=y . Compara con el valor que se obtiene con la calculadora y estima el error cometido.
4) a) Se quiere construir un cuenco con resina. Si el cuenco es generado al hacer girar, alrededor del eje x, la región limitada por las curvas xxf =)( y 2

)(

x

xg = , calcula el valor real de t para que el volumen de resina a utilizar para su construcción sea de 3.3tVπ= b) ¿Por qué es incorrecto el cálculo del valor de la integral ∫− −=

1

1 2

2

1
dx

x
?