ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN FINAL – 24 DE JULIO DE 2012
1) a) Define: Función Continua en un punto. Función continua en un intervalo cerrado [a; b]. b) Responde verdadero (V) o falso (F), según corresponda justificando con un contraejemplo si es F o demostrando la propiedad si es V: b1) Si L)c(fL)x(flím cx =⇒= → b2) Si f(c) no está definida, entonces el )x(flím cx→ no existe. b3) Si )x(flím)x(flím cxcx +→→ =−, entonces la función es continua en x=c.
2) Dada la función: 2x x.ey = a)Verifica que la abscisa del máximo de la curva es la semisuma de las abscisas de los puntos de inflexión. b) Analiza e indica los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función, intervalos de concavidad, asíntotas y discontinuidades. Realiza la gráfica.
3) a) Define Serie Numérica y Sucesión de Sumas Parciales de una Serie numérica. Enuncia el criterio de convergencia de una serie en función de su sucesión de sumas parciales. b) Sea senxx31)x(f ++= . Escribe el polinomio de Taylor en x=0, de orden 4. Luego calcula, estimando el resto, el error que se comete al reemplazar f(1/3) por P(1/3).
4) a)¿Cuál de las siguientes integrales da el área de la región sombreada? Elige la opción correcta y luego calcula el área: i) ∫ =−−− 11 dx))x(x( ii) ∫ =−−− 11 dx))x(x( iii) Otra b) La función 2x1 k)x(f + = se presenta en teoría de probabilidades, en la que se llama función de densidad de Cauchy. Se elige la constante k de modo que el área total bajo la curva en el intervalo (-¶; +¶) sea igual a 1. Determina el valor real de k.