23. ¿Cuántos pares de números cumplen que su M.C.D. sea 6 y que su producto sea 142560? a) 8 b) 7 c) 9 d) 16 e) 15 a) 8 b) 7 c) 9 d) 16 e) 15

Resolución del problema:

1. Descomposición factorial de 142560:

142560 = 2^6 * 3^2 * 5^2 * 7

2. Análisis de los factores primos:

• El MCD de dos números solo puede tener como factores primos a los que ambos números comparten.
• Para que el MCD sea 6, solo se pueden usar los factores primos 2 y 3.
• La potencia máxima de 2 en el MCD es 1, ya que 6 solo tiene un factor 2.
• La potencia máxima de 3 en el MCD es 1, ya que 6 solo tiene un factor 3.

3. Posibles combinaciones de exponentes para los dos números:

• Exponente de 2 en el primer número: 0 o 1.
• Exponente de 2 en el segundo número: 0 o 1.
• Exponente de 3 en el primer número: 0 o 1.
• Exponente de 3 en el segundo número: 0 o 1.

4. Número de pares de números:

• Hay 2 opciones para el exponente de 2 en cada número, lo que da un total de 2 * 2 = 4 opciones.
• Hay 2 opciones para el exponente de 3 en cada número, lo que da un total de 2 * 2 = 4 opciones.
• En total, hay 4 * 4 = 16 pares de números posibles.

5. Conclusión:

Hay 16 pares de números que cumplen con las condiciones del problema.

Respuesta:

La respuesta correcta es d) 16.

Nota:

Es importante recordar que la descomposición factorial de un número nos ayuda a comprender su estructura y a encontrar sus divisores.

Aquí hay algunos recursos adicionales que pueden ayudarte a comprender mejor la descomposición factorial:

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