Sea ahora, integrar la ecuación diferencial siguiente: a) por aplicación directa de la fórmula y b) por el método de variación de constantes.

a) Apliquemos directamente la fórmula III: donde: X = 2 y X1 = -(x2 + 2x). Para ello calculemos las integrales: X·dx = 2dx = 2x X1·eX·dx·dx = -(x2 + 2x)·e2x·dx = -x2e2xdx - 2x·e2xdx (1) Pero aplicando la integración por partes, se tiene que: x2e2xdx = ½ x2·2·e2xdx = ½ (x2·e2x) – ½ e2x·2x·dx = ½ x2·e2x - e2x·x·dx Substituyendo en (1), se tendrá: -½ x2·e2x + e2x·x·dx – 2x·e2x·dx = -½ x2·e2x – x·e2x·dx (2) Pero: x.e2xdx = ½ x·2·e2xdx = ½·x·e2x – ½ e2x·dx = ½ x·e2x – ¼ e2x ; Substituyendo en (2), se tiene que: -½·x2·e2x – ½ x·e2x + ¼ e2x = La integral o solución general de esta EDO será:  I.G.
b) Llegaríamos al mismo resultado por aplicación del método de variación de constantes (opcional). Empleando dicho método, en efecto, se tiene que: y’ + 2y – x2 – 2x = 0 (3) y’ + 2y = 0 ; dy/dx = -2y ; dy/y = -2·dx ; ln y – ln C = -2x ; o sea: y = C·e-2x ; y’ = C’·e-2x – 2·C·e-2x ; Substituyendo en la expresión (3), se tiene: C’·e-2x – 2·C·e-2x + 2·C·e-2x – x2 – 2x = 0 ; Ahora bien: ; dxe·x2dxexdxe)x2x(C ; e x2x dx dC x2x22x22 x2 2       :donde de ; dx·x2·e 1 e·