Resolver el siguiente problema de valor inicial (PVI):
y’ + 3y = sin 2x
y(0) = 0
Solución:
La ecuación característica de la homogénea, será:
 + 3 = 0 ;  = -3 ; con lo que: y* = c·e-3x.
Ensayaremos, ahora, una solución particular de la no homogénea del tipo:
yp = h·cos 2x + k·sin 2x
y’p = -2h·sin 2x + 2k·cos 2x
y substituyendo en la ecuación inicial, se tiene:
-2h·sin 2x + 2k·cos 2x + 3h·cos 2x + 3k·sin 2x = sin 2x ;
-2h + 3k = 1 ; de donde: h = -2/13 ; k = 3/13 ; 3h + 2k = 0 ;
y(x) = y* + yp = c·e3x – 2/13·cos 2x + 3/13·sin 2x ;
La representación gráfica correspondiente del haz o familia de soluciones es la siguiente:
Como: y(0) = c – 2/13 = 0 ; c = 2/13 ; con lo que:
Este problema lo hemos resuelto siguiendo los procedimientos establecidos para la resolución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de grado superior que veremos en siguientes lecciones. Sin embargo, de hecho se trata de una ecuación lineal de primer orden, con: X = 3 ; X1 = - sin 2x ; y:
, de solución más laboriosa. Veámosla seguidamente, integrando por partes la siguiente función:
y alternativamente, integrando también por partes:
Llamando a la integral problema: , se tiene que:
; 2·cos 2x·e3x + 4I = 3·sin 2x·e3x – 9I ;
13I = 3·sin 2x·e3x – 2·cos 2x·e3x = e3x(3·sin 2x – 2·cos 2x) ; ; con lo