Ejemplo 5
Se trata de optimizar la función económica siguiente que representa el beneficio bruto contable de una empresa, expresado en millones de euros, dada por la expresión:
E = 2 + 3A2 + 2eA, siendo, a su vez, A el funcional dado por la integral definida:
A(y,z) = , con las siguientes condiciones de contorno:
y(0) = 0 ; y(/2) = 1 ; z(0) = 0 ; z(/2) = -1.
Determinar el beneficio neto resultante teniendo en cuenta una fiscalidad del 25% en el impuesto de sociedades.
Solución:
El problema planteado consiste en determinar los extremales de A, teniendo en cuenta las condiciones dadas. Como resulta que la función:  = y’2 + z’2 + 2yz, por lo que en este caso en el integrando figuran varias funciones, se obtiene que:
.
En su consecuencia, se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange-Poisson siguiente:
y’’ - z = 0
z’’ - y = 0
Eliminando ahora una de las dos funciones desconocidas, por ejemplo la z, y teniendo en cuenta que: z = y’’ ; z’ = y’’’ ; z’’ = yIV, resultará la ecuación:
yIV – y = 0, que es una EDO homogénea de cuarto orden cuya ecuación característica es:
4 – 1 = 0, con las raíces: 1 = 1, 2 = -1, 3 = i, 4 = -i ; de la que se deduce la integral general:
y(x) = C1ex + C2e-x + C3 cos x + C4 sin x;
y’(x) = C1ex - C2e-x - C3 sin x + C4 cos x; y también:
z(x) = y’’(x) = C1ex + C2e-x - C3 cos x - C4 sin x;
, y teniendo ahora en cuenta las condiciones de contorno dadas, resultará que:
y(0) = C1 + C2 + C3 = 0
y(/2) = C1·e/2 + C2·e-/2 + C4 = 1
z(0) = C1 + C2 – C3 = 0
z(/2) = C1·e/2 + C2·e-/2 - C4 = -1
C1 + C2 = 0;
C1·e/2+ C2·e-/2 = 0 , y resultará que:
C1·e/2 – C1·e-/2 = 0 = C1(e/2 – e-/2), de lo que se concluye que: C1 = C2 = C3 = 0, y C4 = 1.
Y entonces se tienen las extremales:
y = sin x
z = -sin x
y = -z
con la siguiente representación paramétrica gráfica: