Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La teoría general de matrices encuentra, sin duda, una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque después fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas. Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el empleo de matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo, se tiene que: X = A-1·B. Cuando la matriz de los coeficientes no es invertible, el sistema no tiene solución (resulta incompatible). En cualquier caso, un procedimiento alternativo también muy utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de eliminación gaussiana que consta de los siguientes pasos: •Se forma la matriz ampliada del sistema incorporando a la de los coeficientes, por la derecha, una nueva columna con los elementos de la matriz de los términos independientes. •Se aplican operaciones elementales sobre las filas de esta matriz ampliada, hasta lograr que por debajo de la diagonal principal de la matriz todos los términos sean nulos. •Se obtiene entonces un sistema equivalente de ecuaciones de resolución inmediata. Este método, a su vez, permite también realizar una rápida discusión del sistema, a saber: •Si la última fila de la matriz resultante de la transformación de la ampliada produce una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k, con k ¹ 0, el sistema es compatible determinado (tiene una solución única).