Se puede aplicar además el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas. Para ello, basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras). También se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales que sean compatibles indeterminados. El procedimiento a seguir es el siguiente: supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, siendo m > n, tal que: rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran (m – k) ecuaciones y, además, hay (n – k) incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta con encontrar en la matriz de los coeficientes (A) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz (A). Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de k ecuaciones lineales con k incógnitas, cuyas soluciones van a depender de (n – k) parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales). Veamos, al respecto, de lo hasta aquí expuesto, el siguiente ejemplo representativo: 4º. Aplicación a la resolución de las ecuaciones matriciales 8. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ Menor de una matriz: dada una matriz cualquiera, se pueden obtener, suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llaman submatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (también tendrá k columnas), a su determinante se le llama menor de orden k de la matriz dada. Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores de orden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se le llama menor principal de orden k. Rango o característica de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes. También puede definirse como el orden del mayor determinante menor complementario no nulo, o sea, que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta última definición se puede calcular el rango usando determinantes. Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas. Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas. El rango de una matriz A se simboliza así: rang(A) o r(A). Se puede calcular el rango de una matriz por dos métodos diferentes, a saber: 1º. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss Podemos descartar una línea si: -Todos sus coeficientes son ceros. -Hay dos líneas iguales. -Una línea es proporcional a otra. -Una línea es combinación lineal de otras. Veamos ahora el siguiente ejemplo: A = donde: F3 = 2F1 F4 es nula F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2. En general, este procedimiento consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas. Sea, por ejemplo, la matriz: Hacemos: F2 = F2 - 3F1 F3 = F3 - 2F1 Con lo que resultará la siguiente matriz: Por lo tanto, se tiene que: r(A) = 3. 2º. Cálculo del rango de una matriz por determinantes El rango buscado es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Sea, por ejemplo, la siguiente matriz: 1. Podemos descartar una línea si: -Todos sus coeficientes son ceros. -Hay dos líneas iguales. -Una línea es proporcional a otra. -Una línea es combinación lineal de otras. Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2 2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo. |2|=2≠0 3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo. 4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2. 5. Si tuviera rango 3 y existiera alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendría rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4. 9. VALORES Y VECTORES PROPIOS 9.1. Conceptualización Para la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y en diferencias finitas se emplea eficazmente la teoría matricial de los valores y vectores propios, por lo que desarrollaremos aquí algunos conceptos teóricos previos que resultan de utilidad a este fin, junto con algún ejemplo de aplicación al caso. Un vector Xi (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A si se cumple la expresión matricial: A·Xi = ·Xi (por la derecha) o bien Xi t · A =  · Xi t (por la izquierda). El número  se llama valor propio, y puede pertenecer al conjunto de los números reales o al de los complejos (imaginarios puros o mixtos). Los vectores propios también se llaman autovectores o vectores característicos y los valores propios autovalores. Al conjunto de los valores y vectores propios i, Xi se le denomina “autosistema”. Sea A una matriz cuadrada de orden n, y siendo sus elementos tal que aijR, se tiene el determinante: ·I - A  polinomio característico de A. ·I - A = 0  ecuación característica o secular de A. Las raíces de la ecuación anterior, que pueden ser simples o múltiples, se denominan “raíces características o latentes, valores característicos, valores propios o autovalores”. Desarrollando la expresión A·Xi = i ·Xi obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales: (a11 - )x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0 a21x1 + (a22 - )x2 + ... + a2nxn = 0 .......................................... an1x1 + an2x2 + ... + (ann - )xn = 0 Surgen, al respecto de lo expuesto, las siguientes proposiciones: Proposición 1: “Si ASB (relación de semejanza entre matrices cuadradas de orden m), tienen el mismo polinomio característico”. Proposición reflexiva  ·In = N·(·In)·N-1 ; o sea: ASB  B = N · A · N-1 ·In – B = (substituyendo) = N·(·In)·N-1 – N·A·N-1 = N·(·In – A)·N-1 Tomando determinantes: ·In-B=N·(·In-A)·N-1=N··In-A·N-1=·In-A , c.s.q.d. Proposición 2: “Si A = y i son los valores propios de A, se cumple que: a) ; b) . ” Demostraciones respectivas: a) Como consecuencia de ello, podemos escribir: , entonces:           nn1n n111 a...a ......... a...a    n 1i ii n 1i i a)A(tr Ai n 1i                   n 2