S02 s1-Ecuacion diferencial Lineal de primer orden

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CALCULO PARA LA TOMA 
DE DECISIONES
UNIDAD: 01
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Semana 02 – Sesión 01 
TEMA: Ecuación Diferencial Lineal, Método 
de solución general.
Contenido general
Ecuación diferencial lineal 
Método de solución
Problemas resueltos y propuestos
Al finalizar el estudiante identificara si una ecuación 
diferencial de primer orden es lineal y será capaz de
de poder resolverlo.
Logro de la Sesión
Nos ayudara a resolver problemas aplicados a la ley de
enfriamiento de Newton, y a analizar y calcular el
crecimiento de una población en el futuro.
Utilidad
Datos/Observaciones
ECUACION DIFERENCIAL LINEAL
Es una ecuación diferencial de la forma :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)y = Q(x)
En donde P(x) y Q(x) son funciones continuas en un cierto
Intervalo.
Ejemplos:
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥2 + 4)y = sen(x) Si Es Ec. Dif. Lineal
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥3 + 5)𝑦2 = cos(x) No Es Ec. Dif. Lineal
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (𝑥2 + 4)y = ytan(x) No Es Ec. Dif. Lineal
Datos/Observaciones
ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN
APLICACIÓN :
Ejemplo de uso del Modelo
general para solucionar
problemas de mezclas
(salmueras y otros).
Datos/Observaciones
METODO DE SOLUCION
Como la Ecuación Diferencial :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃(𝑥)y = Q(x) es lineal
Entonces la solución general se calcula mediante :
y = 𝑒− ׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥𝑄 𝑥 𝑑𝑥
Donde C es una constante arbitraria.
PROBLEMAS RESUELTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales:
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (
1
𝑥
)y = 𝑥2𝑒𝑥
4
RESOLUCION:
De la ecuación lineal: P(x) =
1
𝑥
y Q(x) = 𝑥2𝑒𝑥
4
Luego la solución será :
y = 𝑒− ׬
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥2𝑒𝑥
4
𝑑𝑥 , integrando :
y = 𝑒−ln(𝑥) 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥2𝑒𝑥
4
𝑑𝑥 , luego :
y= 𝑥−1 𝑐 + 𝑥3𝑒𝑥׬
4
𝑑𝑥 = 𝑥−1 𝑐 +
1
4
𝑒𝑥
4
PROBLEMAS RESUELTOS
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (
1
𝑥
)y = 𝑥3 cos 𝑥3
RESOLUCION:
De la ecuación lineal: P(x) = -
1
𝑥
y Q(x) = 𝑥3cos(𝑥3)
Luego la solución será :
y = 𝑒− ׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥3cos(𝑥3)𝑑𝑥 , integrando :
y = 𝑒ln(𝑥) 𝑐 + ׬ 𝑒−ln(𝑥) 𝑥3cos(𝑥3)𝑑𝑥 , luego :
y= x 𝑐 + 𝑥−1𝑥3cos(𝑥3)𝑑𝑥׬ =x 𝑐 + 𝑥2cos(𝑥3)𝑑𝑥׬
Por lo tanto: y= x 𝑐 +
1
3
𝑠𝑒𝑛(𝑥3)
PROBLEMAS RESUELTOS
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (
1
𝑥
)y = 𝑥2 cos 𝑥
RESOLUCION:
De la ecuación lineal: P(x) = -
1
𝑥
y Q(x) = 𝑥2cos(𝑥)
Luego la solución será :
y = 𝑒− ׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥2cos(𝑥)𝑑𝑥 , integrando :
y = 𝑒ln(𝑥) 𝑐 + ׬ 𝑒−ln(𝑥) 𝑥2cos(𝑥)𝑑𝑥 , luego :
y= x 𝑐 + 𝑥−1𝑥2cos(𝑥)𝑑𝑥׬ =x 𝑐 + ׬ xcos(𝑥)𝑑𝑥
Por lo tanto: y= x 𝑐 + 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos(𝑥)
PROBLEMAS RESUELTOS
4.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (
1
𝑥
)y = 𝑥2 sen 𝑥
RESOLUCION:
De la ecuación lineal: P(x) = -
1
𝑥
y Q(x) = 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Luego la solución será :
y = 𝑒− ׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
−1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥2sen(𝑥)𝑑𝑥 , integrando :
y = 𝑒ln(𝑥) 𝑐 + ׬ 𝑒−ln(𝑥) 𝑥2sen(𝑥)𝑑𝑥 , luego :
y= x 𝑐 + 𝑥−1𝑥2sen(𝑥)𝑑𝑥׬ =x 𝑐 + ׬ xsen(𝑥)𝑑𝑥
Por lo tanto: y= x 𝑐 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 − sen(𝑥)
PROBLEMAS RESUELTOS
5.-
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (
1
𝑥
)y = 𝑥2 𝑠𝑒𝑐2 𝑥4
RESOLUCION:
De la ecuación lineal: P(x) = 
1
𝑥
y Q(x) = 𝑥2𝑠𝑒𝑐2(𝑥4)
Luego la solución será :
y = 𝑒− ׬
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑐 + ׬ 𝑒
׬
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑥2𝑠𝑒𝑐2(𝑥4)𝑑𝑥 , integrando :
y = 𝑒−ln(𝑥) 𝑐 + ׬ 𝑒ln(𝑥) 𝑥2𝑠𝑒𝑐2(𝑥4)𝑑𝑥 , luego :
y= 𝑥−1 𝑐 + .𝑥׬ 𝑥2𝑠𝑒𝑐2(𝑥4)𝑑𝑥 =𝑥−1 𝑐 + 𝑥3𝑠𝑒𝑐2(𝑥4)𝑑𝑥׬
Por lo tanto: y= 𝑥−1 𝑐 +
1
4
𝑡𝑎𝑛(𝑥4)𝑑𝑥
PROBLEMAS PROPUESTOS
Resolver las ecuaciones diferenciales:
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (
1
𝑥
)y = 𝑥4cos(𝑥6)
2.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ (
1
𝑥
)y = 𝑥3𝑒𝑥
5
3.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (
1
𝑥
)y = 𝑥3𝑒𝑥
4.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− (
1
𝑥
)y = 𝑥3cos(𝑥)
CONCLUSIONES:
1.- Muchos modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real 
se analizan y resuelven mediante una ecuación diferencial lineal como …….
2.-Las Ecuaciones Diferenciales Lineal tiene la forma…..
3.- Las Ecuaciones Diferenciales Lineales se resuelven mediante …….……
Ecuación diferencial de primer orden: Ecuación diferencial Lineal