para designar al espacio de las funciones continuas f : [a; b] ! R con la norma k�kp : Como veremos más adelante, la norma más adecuada en el espacio de funciones continuas C0[a; b] es la norma k�k1 : Por ello, escribiremos simplemente C0[a; b] := (C0[a; b]; k�k1): Observemos que la distancia kf � gk1 entre dos funciones continuas f y g es pequeña si sus gráficas están cerca la una de la otra, mientras que la distancia kf � gk1 es pequeña si el área de la región delimitada por sus gráficas es pequeña. Así, dos funciones continuas pueden estar muy cerca según la norma k�k1 y muy lejos según la norma k�k1, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.21 Consideremos las funciones fk : [0; 1]! R dadas por fk(x) = � 1� kx si 0 � x � 1 k ; 0 si 1 k � x � 1: Entonces kfkk1 = 1 para toda k 2 N; mientras que kfkk1 = 1 2k : 10 .7 50 .50 .2 50 1 0 .7 5 0 .5 0 .2 5 0 y = f4(x) 10 .7 50 .50 .2 50 1 0 .7 5 0 .5 0 .2 5 0 y = f8(x) Es decir, según la norma k�k1 todas las funciones fk distan exactamente 1 de la función constante igual a 0; mientras que, según la norma k�k1 ; dichas funciones se acercan cada vez más a la función 0 conforme k crece. Las normas de�nidas en esta sección satisfacen las siguientes relaciones. 20 2. ESPACIOS MÉTRICOS Proposición 2.22 Para toda f 2 C0[a; b] se cumple que kfks � (b� a) r�s rs kfkr 81 � s < r <1; kfks � (b� a) 1 s kfk1 81 � s <1: Demostración: Si 1 � s < r <1; aplicando la desigualdad de Hölder (Proposición 2.18) con p = r r�s y q = r s a la función constante con valor 1 y a la función jf js obtenemos que Z b a jf(x)js dx � �Z b a dx � r�s r �Z b a jf(x)jr dx � s r = (b� a) r�s r �Z b a jf(x)jr dx � s r : Elevando ambos lados a la potencia 1 s obtenemos la primera desigualdad. La segunda desigualdad es sencilla y se deja como ejercicio. 2.4. El espacio de funciones acotadas El siguiente ejemplo juega un papel importante en muchas aplicaciones, algunas de las cuales se verán más adelante. Sea S un conjunto y sea X = (X; d) un espacio métrico. De�nición 2.23 Una función f : S ! X es acotada si existen c 2 R y x0 2 X tales que d(f(z); x0) � c 8z 2 S: Denotamos por B(S;X) := ff : S ! X : f es acotadag y de�nimos d1(f; g) := sup z2S d(f(z); g(z)): Proposición 2.24 d1 es una métrica en B(S;X): Esta métrica se llama la métrica uniforme. 2.5. SUBESPACIOS MÉTRICOS E ISOMETRíAS 21 Demostración: Veamos primero que, si f; g 2 B(S;X); entonces d1(f; g) 2 R. Sean x0; x1 2 X y c0; c1 2 R tales que d(f(z); x0) � c0 y d(g(z); x1) � c1 8z 2 S: Como d satisface (M3) se tiene que d(f(z); g(z)) � d(f(z); x0) + d(x0; x1) + d(x1; g(z)) � c0 + d(x0; x1) + c1 8z 2 S: En consecuencia, d1(f; g) 2 R: Probemos ahora que d1 es una métrica para B(S;X): Como d satisface (M1) se tiene que d1(f; g) = 0, d(f(z); g(z)) = 0 8z 2 S , f(z) = g(z) 8z 2 S; es decir, d1 satisface (M1). La propiedad (M2) para d1 se sigue inmediatamente de la misma propiedad para d: Sean f; g; h 2 B(S;X): La propiedad (M3) de d implica que d(f(z); g(z)) � d(f(z); h(z)) + d(h(z); g(z)) � d1(f; h) + d1(h; g) 8z 2 S: En consecuencia, d1(f; g) � d1(f; h) + d1(h; g); es decir, d1 satisface (M3). Si V es un espacio vectorial, entonces el conjunto de todas las funciones de S a V es un espacio vectorial con las operaciones dadas por (f + g)(z) := f(z) + g(z); (�f)(z) := �f(z): Si V es un espacio normado con norma k�k : entonces kfk1 := sup z2S kf(z)k es una norma en B(S; V ). La demostración de estas a�rmaciones es un ejercicio sencillo [Ejercicio 2.50]. Esta norma se llama la norma uniforme. 2.5. Subespacios métricos e isometrías Los subconjuntos de un espacios métrico heredan su métrica. nyectiva. En efecto, si �(x1) = �(x2) entonces dX(x1; x2) = dY (�(x1); �(x2)) = 0 y, en consecuencia, x1 = x2: Así pues, una isometría � : X ! Y nos permite identi�car a X con el subespacio métrico �(X) := f�(x) : x 2 Xg de Y: Veamos algunos ejemplos. 2.6. EJERCICIOS 23 Ejemplo 2.29 Para cada p 2 [1;1]; la función � : Rnp ! `p; �(x1; :::xn) = (x1; :::xn; 0; 0; :::); es una isometría. Es decir, podemos identi�car a Rnp con el subespacio de `p que consiste de las sucesiones x = (xk) tales que xk = 0 para k > n: Ejemplo 2.30 La identidad id : C01[0; 1]! C01 [0; 1]; id(f) = f; no es una isometría. En efecto, la función fk del Ejemplo 2.21 satisface 1 2k = kfkk1 6= kfkk1 = 1; es decir, la distancia de fk a la función constante 0 según la métrica inducida por la norma k�k1 es 1 2k ; mientras que su distancia según la métrica inducida por k�k1 es 1: 2.6. Ejercicios Ejercicio 2.31 Sea X = (X; d) un espacio métrico. Prueba que, para cualesquiera w; x; y; z 2 X; se cumple que jd(w; x)� d(y; z)j � d(w; y) + d(x; z): Ejercicio 2.32 (a) Demuestra que la distancia usual en R, de�nida en el Ejemplo 2.3, es una métrica. (b) Demuestra que la distancia usual en Rn, de�nida en el Ejemplo 2.4, es una métrica. Ejercicio 2.33 Prueba que kxk1 := m�ax fjx1j ; :::; jxnjg donde x = (x1; :::; xn) 2 Rn; es una norma en Rn: Ejercicio 2.34 ¿Es la función � : Rn ! R; dada por �(x) := m��n fjx1j ; :::; jxnjg ; una norma en Rn? Justi�ca tu a�rmación. Ejercicio 2.35 Sea (V; k�k) un espacio normado. Prueba que la función d(v; w) := kv � wk es una métrica en V: Ejercicio 2.36 Describe los conjuntos �Bp(0; 1) := fx 2 R2 : kxkp � 1g para p = 1; 2;1: Haz un dibujo de cada uno de ellos. 24 2. ESPACIOS MÉTRICOS Ejercicio 2.37 Describe los conjuntos �Bdisc(0; 1) : = fx 2 R2 : ddisc(x; 0) � 1g; Bdisc(0; 1) : = fx 2 R2 : ddisc(x; 0) < 1g; donde ddisc es la métrica discreta en R2: Ejercicio 2.38 Sea V un espacio vectorial distinto de f0g: Prueba que no existe ningu- na norma en V que induzca la métrica discreta, es decir, no existe ninguna norma en V tal que kv � wk = � 0 si v = w; 1 si v 6= w: Ejercicio 2.39 Prueba que, para cada p 2 [1;1]; la función k�kp de�nida en la Proposi- ción 2.15 satisface: (N1) kxkp = 0 si y sólo si x = 0 en `p: