A principios del siglo XIX Augustin Louis Cauchy y Bernard Bolzano dieron, de manera independiente, una definición de continuidad. Llamaron continua a una función que tomaba valores arbitrariamente cercanos para valores suficientemente cercanos de la variable. Esta definición es exacta pero imprecisa. La definición usual hoy en día, en términos de "épsilons y deltas", fue introducida por Karl Weierstrass1 a finales del siglo XIX. Karl Weierstrass La noción de continuidad de una función entre espacios métricos es formalmente idéntica a la de continuidad de una función entre espacios euclidianos que ya conocemos. En este capítulo estudiaremos este concepto y daremos varias caracterizaciones de la continuidad. 3.1. Definiciones y ejemplos Sean X = (X; dX) y Y = (Y; dY ) espacios métricos. Definición 3.1 Una función f : X ! Y es continua en el punto x0 2 X si, dada " > 0; existe " > 0 (que depende de x0 y de ") tal que dY (f(x); f(x0)) < " si dX(x; x0) < ". Decimos que f es continua si lo es en todo punto de X. La continuidad de f depende de las métricas que estamos considerando en X y Y: Para hacer énfasis en ello usaremos en ocasiones la notación f : (X; dX)! (Y; dY ) en vez de f : X ! Y: Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 3.2 La identidad id : Rnp ! Rnr es una función continua para cualesquiera p; r 2 [1;1]. Demostración: Observa que (máx far1; : : : ; arng) 1=r = máx fa1; : : : ; ang para todos r 2 [1;1] y a1; : : : ; an ≠ 0: En consecuencia, para cualesquiera p; r 2 [1;1) y x = (x1; : : : ; xn) 2 Rn se tiene que kxkr = ∑ni=1 jxijr 1=r = ∑ni=1 jxijr 1=r = n1=r ∑ni=1 jxij = n1=r kxk1 ; kxk1 = máx ∑ni=1 jxij = ∑ni=1 jxijp 1=p = kxkp : (3.1) De ambas desigualdades concluimos que kxkr ≤ n1=r kxkp 8x 2 Rn; p 2 [1;1]; r 2 [1;1): (3.2) Dados x0 2 Rn y " > 0 definimos " := n1=r" si r 2 [1;1) o " := " si r = 1: De las desigualdades anteriores se sigue que kx� x0kr < " si kx� x0kp < ": Esto prueba que id : Rnp ! Rnr es continua. Ejemplo 3.3 La identidad id : C01[0; 1] ! C01 [0; 1] es continua, mientras que la identidad id : C01 [0; 1]! C01[0; 1] no lo es. Demostración: Por la Proposición 2.22, kfk1 ≤ kfk1 8f 2 C0[0; 1]: En consecuencia, dadas f0 2 C0[0; 1] y " > 0; para " := " se cumple que kf − f0k1 < " si kf − f0k1 < ": Esto prueba que id : C01[0; 1]! C01 [0; 1] es continua. Denotemos por 0 a la función constante con valor 0 en [0; 1]: Probaremos que id : C01 [0; 1]! C01[0; 1] no es continua en 0 (de hecho no lo es en ningún punto de C0[0; 1]). Sea " := 1 2 : Afirmamos que para cualquier " > 0 existe g� 2 C0[0; 1] tal que kg�k1 < " y kg�k1 = 1 > ": En efecto, la función g�(x) := { x si 0 ≤ x ≤ "; 0 si "; x ≤ 1; tiene estas propiedades. Por tanto, la identidad id : C01 [0; 1]! C01[0; 1] no es continua en 0: Definición 3.4 Una función f : X ! Y es un homeomorfismo si f es continua y biyectiva y su inversa f−1 : Y ! X es continua. Se dice que X y Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Los ejemplos anteriores afirman que id : Rnp ! Rnr es un homeomorfismo para cualesquiera p; r 2 [1;1], mientras que id : C01[a; b]! C01 [a; b] no lo es. Proposición 3.5 Sean f : X ! Y y g : Y ! Z funciones entre espacios métricos. (a) Si f y g son continuas entonces la composición f ◦ g : X ! Z es continua. (b) Si f es un homeomorfismo, entonces g es continua si y sólo si f ◦ g es continua. (c) Si g es un homeomorfismo, entonces f es continua si y sólo si g ◦ f es continua. Demostración: (a) Sean x0 2 X y " > 0: Como g es continua en y0 := f(x0), existe δ > 0 tal que dZ(g(y); g(y0)) < " si dY(y; y0) < δ: Y, como f es continua en x0; existe ε > 0 tal que dY(f(x); f(x0)) < δ si dX(x; x0) < ε: En consecuencia, dZ(g(f(x)); g(f(x0))) < " si dX(x; x0) < ε: Es decir, f ◦ g : X ! Z es continua. (b) Si f es un homeomorfismo, de la afirmación (a) se sigue que f ◦ g es continua si y sólo si (f ◦ g) ◦ f−1 = g es continua. (c) Análogamente, si g es un homeomorfismo, entonces f ◦ g es continua si y sólo si g−1 ◦ (f ◦ g) = f es continua. La proposición anterior nos permite concluir que f : Rn ! Rm es continua si y sólo si f : Rnp ! Rmr es continua para cualesquiera p; r 2 [1;1] [Ejercicio 3.37]. Algunas propiedades importantes de los espacios métricos, como la completitud (que estudiaremos más adelante), no se preservan bajo homeomorfismos. Por ello conviene introducir los siguientes conceptos. Definición 3.6 Una función f : X ! Y es Lipschitz continua, si existe c > 0 tal que dY(f(x); f(y)) ≤ c dX(x; y) 8x; y 2 X: A c se le llama una constante de Lipschitz para f: Diremos que f es una equivalencia si f es Lipschitz continua y biyectiva y su inversa f−1 : Y ! X es Lipschitz continua. Esta noción es más fuerte que la de continuidad. Proposición 3.7 Si f es Lipschitz continua entonces f es continua. Demostración: Sea c > 0 una constante de Lipschitz para f: Entonces, dada " > 0; para ε := " c > 0 se cumple que dY(f(x); f(x0)) < " si dX(x; x0) < ε: Por tanto, f es continua. Nota que en este caso ε no depende del punto x0 2 X. El inverso no es cierto en general, es decir, no toda función continua