es un espacio de Banach, existe Tv 2 W tal que Tkv ! Tv en W: Probaremos ahora que T 2 L(V;W ): Sean v; w 2 V; �; � 2 R: Se tiene que T (�v + �w) = l��m k!1 Tk(�v + �w) = l��m k!1 (�Tkv + �Tkw) = � l��m k!1 Tkv + � l��m k!1 Tkw = �Tv + �Tw: Esto prueba que T es lineal. Por otra parte, haciendo tender k !1 en la desigualdad (9.3) obtenemos kTv � TjvkW � " kvkV si j � k0; 8v 2 V: (9.4) Por tanto, kTvkW � kTv � Tk0vkW + kTk0vkW � " kvkV + kTk0kL(V;W ) kvkV � h "+ kTk0kL(V;W ) i kvkV 8v 2 V: De la Proposición 9.1 se sigue que T es continua. Finalmente, la desigualdad (9.4) implica que kTv � TjvkW kvkV � " si j � k0; 8v 2 V; Por tanto, kT � TjkL(V;W ) � " si j � k0: Esto prueba que Tj ! T en L(V;W ): En consecuencia, L(V;W ) es un espacio de Banach.