Decimos que � 2 A es un máximo local de g : X ! R en A si existe � > 0 tal que g(�) � g(x) 8x 2 A \BX(�; �): Los mínimos y máximos locales de una función en una variedad tienen la siguiente propiedad. Proposición 10.12 Sean M una subvariedad de un espacio de Banach Y; un sub- conjunto abierto de Y que contiene a M y g : ! R una función de clase C1: Si u es un mínimo (máximo) local de g en M; entonces g0(u)v = 0 8v 2 TuM: Demostración: Sean v 2 TuM y � 2 �u(M); de�nida en (�"; "); tal que �0(0) = v: Si u es un mínimo (máximo) local de g en M; entonces 0 es un mínimo (máximo) local de g � � : (�"; ")! R: Por tanto, 0 = (g � �)0(0) = g0(u) (�0(0)) = g0(u)v; como a�rma el enunciado. De�nición 10.13 Sean M una subvariedad de un espacio de Banach Y; un subcon- junto abierto de Y que contiene a M y g : ! R una función de clase C1: Se dice que un punto u 2M es un punto crítico de g en M si g0(u)v = 0 8v 2 TuM: La Proposición 10.12 a�rma que los máximos y mínimos locales son puntos críticos de g enM: Para Y = Rn podemos caracterizar a los puntos críticos del siguiente modo. Teorema 10.14 (multiplicadores de Lagrange) Sean un abierto de Rn, ' = ('1; :::; 'm) : ! Rm una función de clase C1; c 2 Rm un valor regular de ' y M := fx 2 Rn : '(x) = cg: Sea g : ! R una función de clase C1: Entonces � es un punto crítico de g en M si y sólo si existen �1; :::; �m 2 R únicos tales que rg(�) = �1r'1(�) + � � �+ �mr'm(�): Demostración: Por de�nición, � es un punto crítico de g en M si y sólo si rg(�) es ortogonal a T�M: En el Ejemplo 10.4 vimos que fr'1(�); : : : ;r'm(�)g es una base del complemento ortogonal de T�M: En consecuencia, � es un punto crítico de g en M si y sólo si rg(�) se expresa de manera única como rg(�) = �1r'1(�) + � � �+ �mr'm(�) con �1; :::; �m 2 R.