+ 4
−4x < 8
x > −2.
En notación de intervalo, la solución de esta inecuación es el intervalo abierto infinito S = (−2,+∞). En notacioón de conjunto tenemos S = {x ∈ R : x > −2} y su representación en la recta numérica es
0
(−2
Tenemos aśı un conjunto infinito de valores que verifican esta desigualdad. Por ejemplo, x = −1 es una solucioón ya que si reemplazamos con este valor en cada miembro de la inecuación inicial encontramos
2 · (−1)− (−1 + 4) = −2− 3 = −5 y 5 · (−1 + 1)− 1 = −1,
es decir que se verifica la desigualdad planteada, porque −5 < −1. Sin embargo x = −5 no es una solucioón de esta inecuación pues al reemplazar en cada miembro resulta
2 · (−5)− (−5 + 4) = −10 + 1 = −9 y 5 · (−5 + 1)− 1 = −21,
y esto no verifica la desigualdad planteada, porque −9 ≮ −21.
El uso total o parcial de este material estaá permitido siempre que se haga mencioón expĺıcita de su fuente:
“Curso de Nivelacioón. Matemaática. Notas Teoóricas y Gúıa de Actividades.” Departamento de Matemaática. UNS.

Unidad 2. Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Inecuaciones 33

Ejemplo 2.5.2

Analicemos a continuacioón dos situaciones particulares: inecuaciones sin solucioón e inecua-
ciones para las que cualquier nuúmero real es solucioón.

1. Consideremos la inecuación

5− 8x < 3(1− x)− 5x

5− 8x < 3− 8x

5 < 3.

Esta desigualdad es absurda, es decir que la inecuación no tiene solucioón, luego el
conjunto solucioón es S = ∅.

2. Sea la inecuación

2(x− 4) < 1− 2(1− x)

2x− 8 < −1 + 2x

−8 < −1.

Esta desigualdad es verdadera para cualquier x ∈ R y aśı tenemos que el conjunto
solucioón es S = R.

Para pensar 10

1. Sea x ∈ R, x > 0. ¿Cuaál es el signo de x−1?

2. Sean x, y ∈ R, tales que x > y > 0. ¿Es correcto afirmar que x−1 > y−1? ¿Y que
x2 > y2?

Inecuaciones con valor absoluto

Las inecuaciones en las que aparece el valor absoluto pueden expresarse como un par de ine-
cuaciones del tipo ya visto. Un primer ejemplo relacionado con este concepto fue presentado
en la Unidad 1, en Ejemplo 1.2.3.

En general, si a ∈ R+ tenemos

|x| < a ⇐⇒ −a < x < a

⇐⇒ x > −a y x < a
0
(−a
)
a

|x| > a ⇐⇒ x > a ó x < −a
0
)
−a
(
a

El uso total o parcial de este material estaá permitido siempre que se haga mencioón expĺıcita de su fuente:
“Curso de Nivelacioón. Matemaática. Notas Teoóricas y Gúıa de Actividades.” Departamento de Matemaática. UNS.

34 Unidad 2. Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Inecuaciones

Ejemplo 2.5.3

Veamos, paso a paso, cómo resolver la siguiente inecuación.

2
∣∣∣∣x− 5
2
∣∣∣∣+ 1
2
6 1
2
∣∣∣∣x− 5
2
∣∣∣∣ 6 1
2∣∣∣∣x− 5
2
∣∣∣∣ 6 1
4
−1
4
6 x− 5
2
6
1
4
9
4
6 x 6
11
4
.

Podemos expresar la solucioón de esta inecuación en forma de intervalo cerrado finito o bien
sobre una recta numeérica

S =

ñ
9
4
,
11
4

ô
| | |
1 2 3

[ ]

9
4

11
4

Ejemplo 2.5.4

Veamos a continuacioón el otro caso posible de una inecuación con valor absoluto.

1
6
− 2
3
|2− x| < −1

−2
3
|2− x| < −7

6
|2− x| > −7
6
:
Ç
−2
3
å
⇐⇒ 2− x > 7
4︸ ︷︷ ︸ ó 2− x < −7
4︸ ︷︷ ︸ .
(1) (2)

Entonces, resolvemos (1) y encontramos

2− x > 7
4
⇐⇒ −x > −1
4
⇐⇒ x <
1
4
.

Y luego resolvemos (2)

2− x < −7
4
⇐⇒ −x < −15
4
⇐⇒ x >
15
4
.

Aśı, la solucioón de la inecuación se expresa como la unioón de dos intervalos abiertos infinitos

S =

Ç
−∞, 1
4
å
∪
Ç

15
4
,+∞
å
−1 0 1 2 3 4
)
1
4
(

15
4

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Unidad 2. Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Inecuaciones 35

Para pensar 11

1. ¿Qué valores de y ∈ R son solucioón de 1− |2y| > 3?

2. ¿Qué valores de y ∈ R verifican la inecuación |y + 2|+ 5 > 1?

Inecuaciones y reglas de signo

Otro tipo de inecuaciones que estudiaremos es aquel en que factorizamos la expresioón algebraica
y hacemos uso de las reglas de signo.

Ejemplo 2.5.5

Veamos cómo resolver la inecuación

1
3− x
− 1
2x
<
2 + x
2x(3− x)
,
y representar su solucioón en forma de intervalo.

Comenzamos agrupando todos los términos en un mismo miembro de la desigualdad.

1
3− x
− 1
2x
− 2 + x
2x(3− x)
< 0

2x− (3− x)− (2 + x)
2x(3− x)
< 0

2x− 5
2x(3− x)
< 0.
Debe ser x 6= 0 y x 6= 3, y tenemos tres factores: 2x− 5, 2x y 3−x, para los cuales vamos
a realizar un estudio de signo. Tenemos
2x− 5 > 0 ⇐⇒ x >
5
2
−1 0 1 2 3 4
(
+++++++−−−−−−−−−−−−− signo de
2x− 5
2x > 0 ⇐⇒ x > 0 −1 0 1 2 3 4
(
+++++++++++++++−−−−−− signo de
2x
3− x > 0 ⇐⇒ x < 3 −1 0 1 2 3 4
)
−−−−−−+++++++++++++++ signo de
3− x
−1 0 1 2 3 4
)(
++++++
)(
−−−−−−−
)(
+ −−−−−− signo de
2x− 5
2x(3− x)
Luego
2x− 5
2x(3− x)
< 0 ⇐⇒ x ∈ S =
Ç
0,
5
2
å
∪ (3,+∞) .
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36 Unidad 2. Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Inecuaciones

Planteo y resolucioón de problemas

Ejemplo 2.5.6

Calculemos los valores de r para los que el área del ćırculo es menor que el área del triángulo
de la siguiente figura.

A B
C

r
2π

2r

La inecuación que corresponde a este problema es

πr2 <
2r · 2π
2
=⇒ πr2 − 2πr < 0 =⇒ πr(r − 2) < 0.

Para que este producto sea negativo, dado que r > 0, debe ser
r − 2 < 0 =⇒ r < 2.

Luego, para que el