U6 pp 144 números complejos

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Número complejo
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo
algebraicamente cerrado.1 El conjunto de los números complejos se designa con la
notación , siendo el conjunto de los números reales se cumple que ( está
estrictamente contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los
polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse
como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la
unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de
ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones
diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se
utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la
mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las
telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la
corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran
como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y
los imaginarios puros.
Historia
Definición
Operaciones racionales
Unidad imaginaria
Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
Valor absoluto o módulo de un número complejo
Argumento o fase
Conjugado de un número complejo
Representaciones
Representación binómica
Representación polar
Operaciones en forma polar
Raíz enésima de un número complejo
Representación en forma de matrices de orden 2
Plano de los números complejos o Diagrama de Argand
Propiedades
Cuerpo de los números complejos
Espacio vectorial
Aplicaciones
En matemáticas
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Variable compleja o análisis complejo
Ecuaciones diferenciales
Ilustración del plano complejo. Los
números reales se encuentran en el
eje de coordenadas horizontal y los
imaginarios en el eje vertical.
Índice
https://es.wikipedia.org/wiki/Extensi%C3%B3n_algebraica
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_algebraicamente_cerrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica#Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaciones
https://es.wikipedia.org/wiki/Ondas_electromagn%C3%A9ticas
https://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_el%C3%A9ctrica
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Complex_conjugate_picture.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
Fractales
En física
Generalizaciones
Véase también
Referencias
Bibliografía
Enlaces externos
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene de los matemáticos griegos, como Herón de
Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los
polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia y Cardano. Originalmente, los números
complejos fueron propuestos en 1545, por el matemático italiano, Girolamo Cardano (1501-1576), en un tratado epitómico que versaba
sobre la solución de las ecuaciones cúbicas y cuárticas, con el título de Ars magna. El término imaginario para estas cantidades fue
acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso.
Las cantidades «ficticias» de Cardano cayeron en un mar de indiferencia por la mayoría de los miembros de la comunidad matemática.
Fueron Caspar Wessel en 1799 y Jean-Robert Argand en 1806, con la propuesta del plano complejo y la representación de la unidad
imaginaria i, mediante el punto (0,1) del eje vertical quienes sentaron las bases de estos números. El matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777-1855), fue quien les dio nombre, los definió rigurosamente y los utilizó en la demostración original del teorema
fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio que no sea constante, posee al menos un cero. La implementación más formal,
con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
La frase número complejo fue usada por Carnot en 1803. Años después la empleó Gauss en Theoria residorum biquadratorum en 1828;
la usaba para eludir la expresión número imaginario. Cardano los llamaba números negativos puros2 .
Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, permiten extender el concepto del cálculo al plano
complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para
obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada.3 
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como
parte real de z, se denota ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota . Luego en el
conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
Igualdad
Al número se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se
establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo se denomina número
imaginario puro. Puesto que se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número
imaginario puro.4 
 
Historia
Definición
Operaciones racionales
https://es.wikipedia.org/wiki/Her%C3%B3n_de_Alejandr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_I
https://es.wikipedia.org/wiki/Pir%C3%A1mide_(geometr%C3%ADa)
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVI
https://es.wikipedia.org/wiki/Tartaglia
https://es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
https://es.wikipedia.org/wiki/Girolamo_Cardano
https://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
https://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVII
https://es.wikipedia.org/wiki/Caspar_Wessel
https://es.wikipedia.org/wiki/1799
https://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argand
https://es.wikipedia.org/wiki/1806
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Variable_compleja
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada
https://es.wikipedia.org/wiki/Par_ordenado
Adición
Producto por escalar
Multiplicación
A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta
División
Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad
imaginaria, definido como
Que satisface la siguiente igualdad:
Tomando en cuenta que , cabe la identificación
En textos elementales se define que i 2 es igual a -1. Además es una de las raíces de la ecuación x 2 + 1 = 0. 5 
El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de
Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ
+ isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocidafórmula de Euler.
Unidad imaginaria
Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado
Valor absoluto o módulo de un número complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.wikipedia.org/wiki/Distancia_eucl%C3%ADdea
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler
Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades
del valor absoluto
para cualquier complejo z y w.
Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y
nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se
puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la
multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si
no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los
números complejos.
El argumento principal o fase de un número complejo genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) es el ángulo que forman el
eje de abscisas OX y el vector OM, con M(x,y). Viene dado por la siguiente expresión:
donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:
O también: Siendo:
6 
la función signo.
El argumento tiene periodicidad 2π, con lo que siendo cualquier número entero. El ángulo Arg z es el valor
principal de arg z que verifica las condiciones -π < Arg z <= π descritas antes.7 
Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo z (denotado como
 o ) es un nuevo número complejo, definido así:
La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Argumento o fase
Conjugado de un número complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_m%C3%A9trico
https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_matem%C3%A1tico
https://es.wikipedia.org/wiki/Continuidad_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Argumento_(an%C3%A1lisis_complejo)
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_arcotangente
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_signo
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjugado_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Euler%27s_formula.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_complejo
Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades:
Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Un número complejo se representa en forma binomial como:
La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras,
como se muestra a continuación:
En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento
del número complejo.
Despejandose a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial, resulta:
Sacando factor común r:
Representaciones
Representación binómica
Un número complejo
representado como un punto
(en rojo) y un vector de
posición (azul) en un
diagrama de Argand; 
es la expresión binomial del
punto.
Representación polar
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Complex_number_illustration.png
https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Argand
Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad
imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de
esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que
pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según la Fórmula de Euler:
No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir
infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se
diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u
horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica
la fórmula de Euler:
Por esto, generalmente está restringido al intervalo [-π, π) y a éste restringido se le llama argumento principal de z y se denota
φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.
La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:
División:
Potenciación:
Raíz cuadrada
Dado el número complejo z diremos y se cumple que 
Ejemplo 
El argumento φ y módulo r localizan
un punto en un diagrama de Argand; 
 o es la
expresión polar del punto.
Operaciones en forma polar
Raíz enésima de un número complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler
https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Complex_number_illustration_modarg.svg
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
En el anillo de las matrices de segundo orden sobre el campo de números reales, se puede hallar un subconjunto que es isomorfo al
cuerpo de los números complejos. Pues, se establece una correspondencia entre cada número complejo a+bi con la matriz
De tal manera se obtiene una correspondencia biunívoca. La suma y el producto de dos de esta matrices tiene de nuevo esta forma, y la
suma y producto de números complejos corresponde a la suma y producto de tales matrices. En particular la matriz cumple el
rol de unidad imaginaria.8 
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede
relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas
polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del
producto es la suma de los ángulos de los términos pudiendo ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño
simultáneamente.
Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que
(-1)·(-1)=+1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º (i al cuadrado = -1), dando como
resultado un cambio de signo al completar una vuelta.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano
complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en
muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.
El conjunto ℂ de los números complejos satisface las leyes de la axiomática que define un cuerpo:
Propiedad conmutativa: z+w = w+z; zw= wz.
Propiedad asociativa: v+(w+z)= (v+w)+ z; v(wz)= (vw)z
Propiedad distributiva: v(w+z) = vw+vz; (w+z)v = wv+zv
Existencia de identidades:
La identidad aditiva, el cero: z+ 0 = 0+z = z; la identidad multiplicativa, el 1: 
Inversos: cada número complejo tiene su inverso aditivo -z tal que z +(-z) = 0 y cada número complejo, distinto de
cero, tiene su inverso multiplicativo z-1, tal que z·z-1 = 1.9 
Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún,
C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números
reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
El conjunto ℂ con la adición de números complejos y considerando como escalares los números reales, se puede definir ℂ como un
espacio vectorial. Esto es:
Representación en forma de matrices de orden 2
Plano de los números complejos o Diagrama de Argand
Propiedades
Cuerpo de los números complejos
Espacio vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/Isomorfismo
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matriceshttps://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa
https://es.wikipedia.org/wiki/Suma
https://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacio_eucl%C3%ADdeo)
https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares
https://es.wikipedia.org/wiki/Polo_(an%C3%A1lisis_complejo)
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
https://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_conmutativa
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_asociativa
https://es.wikipedia.org/wiki/Propiedad_distributiva
https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_aditivo
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_reales
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_orden
https://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
1. Si z,w son números complejos, entonces z+w es un número complejo. Esta operación interna define una estructura de
grupo aditivo.
2. Si r es número real y z es un número complejo, entonces rz, llamado múltiplo escalar de z, es también un número
complejo. Las dos operaciones satisfacen la axiomática de un espacio vectorial o lineal.10 
Una raíz o un cero11 del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todas las
ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene
exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como
Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos
consideran a los números complejos unos números más naturales[cita requerida] que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.
También se cumple que si z es una raíz de un polinomio p con coeficientes reales, entonces el complejo conjugado de z también es una
raíz de p.
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como
herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes
herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real,
necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones,
lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para
sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro.
En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es
habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general
del sistema en términos de funciones de base de la forma: .
Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión
de números complejos. El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad
autosimilar.
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas
variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de
una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con
comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma donde ω representa la
frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias,
capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas).
Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de
corriente.
Aplicaciones
En matemáticas
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Variable compleja o análisis complejo
Ecuaciones diferenciales
Fractales
En física
https://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_interna
https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_del_%C3%81lgebra
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_algebraicamente_cerrado
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_complejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_aplicada
https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros
https://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficos_3D_por_computadora
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_lineal
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADstico
https://es.wikipedia.org/wiki/Fractales
https://es.wikipedia.org/wiki/Autosimilaridad
https://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_electr%C3%B3nica
https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_de_Fourier
https://es.wikipedia.org/wiki/Amplitud
https://es.wikipedia.org/wiki/Fase_(onda)
https://es.wikipedia.org/wiki/Onda_sinusoidal
https://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Frecuencia_angular
https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_el%C3%A9ctrica
https://es.wikipedia.org/wiki/Condensador_(el%C3%A9ctrico)
https://es.wikipedia.org/wiki/Inductor
https://es.wikipedia.org/wiki/Redes_el%C3%A9ctricas
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de
dimensión infinita sobre C (ℂ).[cita requerida]
En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si
tomamos el tiempo como una variable imaginaria.[cita requerida]
Los números complejos pueden generalizarse dando lugar a los números hipercomplejos. El cuerpo de los números
complejos es un subcuerpo conmutativo del álgebra cuaterniónica , que a su vez es una subálgebra de otras
álgebras más extensas (octoniones, sedeniones):
Otra posible generalización es considerar la complejificación de los números hiperreales:
Plano de Argand
Conjunto de Mandelbrot
Conjunto de Julia
Clasificación de números
Complejos 
Reales 
Racionales 
Enteros 
Naturales 
uno: 1
Naturales primos
Naturales
compuestos
Cero: 0
Enteros negativos
Fraccionarios
Exactos
Periódicos
Puros
Mixtos
Irracionales
Irracionales algebraicos
Trascendentes
Imaginarios
1. J. V. Uspenski (profesor de la Universidad de Stanford):
Teoría de ecuaciones, Limusa grupo Noriega editores.
México DF. (1992) ISBN 968-18-2335-4.
2. N. V. Alexándrova: Diccionario histórico de notaciones,
términos y conceptos de las matemáticas. Editorial
URSS Moscú (2015)
Generalizaciones
Véase también
Referencias
https://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_Hilbert
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_especial
https://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Verificabilidad
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_hipercomplejo
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuaterni%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Octoni%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/Sedeniones
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_hiperreales
https://es.wikipedia.org/wiki/Plano_de_Argand
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrothttps://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural
https://es.wikipedia.org/wiki/Uno
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_compuesto
https://es.wikipedia.org/wiki/Cero
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo
https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal_peri%C3%B3dico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_algebraico
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_trascendente
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9681823354
Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3
I. M. Yaglom: Números complejos y sus aplicaciones a la geometría'. Editorial URSS Moscú (2009) ISBN 978-5-396-
00077-3
 Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Número complejo.
Weisstein, Eric W. «Complex Number» (http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html). En Weisstein, Eric W.
MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Los números complejos (http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/LibroComplejos-JS/index.htm
l). Libro interactivo gratuito de RED Descartes
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3. William R. Derrick: Variable compleja con aplicaciones.
Grupo Editorial Iberoamérica, impreso en México ISBN
968-7270-35-7
4. Álgebra moderna. Ediciones Schaumm
5. Álgebra de Aurelio Baldor
6. Coincide totalmente con lo expuesto en ««Funciones de
variable compleja Cálculo operacional Teoría de la
estabilidad » de Krasnov/ Kiselev y Makárenko. Editorial
Mir, Moscú. pág. 9 (1983)
7. César Trejo. Op. cit.
8. Moisés Lázaro. Números complejos. Ediciones
Moshera, Lima (2011)
9. Derryck. Op. cit.
10. Zamansky. Introducción al álgebra y análisis moderno
11. Análisis matemático . Volumen I de Haaser, LaSalle y
Sullivan (1977) Trillas, p.483
Bibliografía
Enlaces externos
https://es.wikipedia.org/wiki/ISBN
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0-387-90328-3
https://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/9785396000773
https://es.wikipedia.org/wiki/Wikimedia_Commons
https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Complex_numbers
https://es.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html
https://es.wikipedia.org/wiki/MathWorld
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