Autoexamen
1. Para demostrar que un número entero distinto de cero d divide a un entero n, debemos demostrar que .
2. Decir que d divide a n significa lo mismo que decir que es divisible entre .
3. Si a y b son números enteros positivos y a b, entonces es menor o igual a .
4. Para todos los enteros n, d, d | n, si y sólo si, .
5. Si a y b son números enteros, la notación a b denota y la notación a b denota .
6. La transitividad del teorema de la divisibilidad, dice que para todos los enteros a, b y c, si entonces .
7. La divisibilidad por un teorema de primos dice que cada número entero mayor que 1 es .
8. El teorema de factorización única de números enteros, dice que cualquier número entero mayor que 1 es ya sea o se puede escribir como en una forma que es única, excepto, posible- mente, en el en que se escriben los números.
Conjunto de ejercicios 4.3
Dé una razón para su respuesta en cada uno de los ejercicios del 1 al 13. Supongamos que todas las variables representan números enteros.
1. ¿Es 52 divisible por 13? 2. ¿Es 7 56?
3. ¿Es 5 0?
4. ¿3 divide a (3k l)(3k 2)(3k 3)?
5. ¿Es 6m(2m 10) divisible por 4?
6. ¿Es 29 un múltiplo de 3? 7. ¿Es ฀3 un factor de 66?
8. ¿Es 6a(a b) un múltiplo de 3a?
9. ¿Es 4 un factor de 2a 34b?
10. ¿Es 7 34? 11. ¿Es 13 73?
12. ¿Si n 4k 1, 8 divide a n2 ฀ 1?
13. ¿Si n 4k 3, 8 divide a n2 ฀ 1?
14. Complete los espacios en blanco en la demostración siguiente para todos los números enteros a y b, si a b entonces a (฀b).
Demostración: Supongamos que a y b son números enteros tales que cualquier (a) . Por definición de divisibilidad, existe un número entero r tal que (b) . Sustituyendo. ฀b ฀ar a(฀r). Sea t (c) . Entonces t es un número entero, porque t (฀1) r y ambos ฀1 y r son números enteros. Así, por sustitución, ฀b at, donde r es un número entero y así, por definición, de la divisibilidad, (d) . que era lo que se quería demostrar.
Demuestre los enunciados de los ejercicios 15 y 16 directamente de la definición de divisibilidad.
15. Para todos los números enteros a, b y c, si a b y a c entonces a (b c).
16. Para todos los números enteros a, b y c, si a b y a c entonces a (b ฀ c).
17. Considere el enunciado siguiente: El negativo de cualquier múltiplo de 3 es un múltiplo de 3.
a. Escriba el enunciado formal con un cuantificador y una variable.
b. Determine si el enunciado es verdadero o falso y justifique su respuesta.
18. Demuestre que el enunciado siguiente es falso: Para todos los números enteros a y b, si 3 (a b), entonces 3 (a ฀ b).
Para cada enunciado en los ejercicios del 19 a 31, determine si el enunciado es verdadero o falso. Demuestre el enunciado directamente de las definiciones, si es verdadero y dé un contraejemplo si es falso.
19. Para todos los números enteros a, b y c, si a divide a b entonces a divide a bc.
20. La suma de tres enteros consecutivos es divisible por 3. (Dos números enteros son consecutivos, si y sólo si, uno es uno más que el otro.)
21. El producto de dos enteros pares es un múltiplo de 4.
22. Una condición necesaria para que un número entero sea divisible entre 6 es que sea divisible entre 2.
23. Una condición suficiente para que un número entero sea divisible entre 8 es que sea divisible entre 16.
24. Para todos los números enteros a, b y c, si a b y a c entonces a (2b ฀ 3c).
25. Para todos los números enteros a, b y c, si a es un factor de c entonces ab es un factor de c.
26. Para todos los números enteros a, b y c, si ab c entonces a c y b c.
27. Para todos los números enteros a, b y c, si a (b c) entonces a b o a c.
28. Para todos los números enteros a, b y c, si a bc entonces a b o a c.
29. Para todos los números enteros a y b, si a b, entonces a2 b2.
30. Para todos los números enteros a y n, si a n2 y a n entonces a n.
31. Para todos los números enteros a y b, si a 10b entonces a 10 o a b.
32. Una cadena de comida rápida tiene un concurso en el que una tarjeta con números se le da a cada cliente que realiza una compra. Si algunos de los números de la tarjeta suman 100, entonces el cliente gana $100. Un cliente dado recibe una tarjeta con los números 72, 21, 15, 36, 69, 81, 9, 27, 42 y 63. ¿El cliente gana los $100? ¿Por qué si o por qué no?
33. ¿Es posible tener una combinación de cinco, diez y veinticinco centavos que sumen 4.72? Explique.
34. ¿Es posible tener 50 monedas, compuestas por monedas de un centavo, monedas de diez centavos y de veinticinco centavos, que sumen 3? Explique.
35. Dos atletas corren en una pista circular con una velocidad constante tal que el primero completa una ronda completa en 8 minutos y el segundo en 10 minutos. Si ambos empiezan desde el mismo lugar a las 4 p.m., ¿cuándo será la primera vez en que se encuentren juntos al inicio?
36. Se puede demostrar (vea los ejercicios 44-48) que un número entero es divisible por 3 si y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 3. Un entero es divisible por 9 si y sólo si, la suma de sus dígitos es divisible por 9. Un entero es divisible por 5 si y sólo si, su dígito del extremo derecho es un 5 o un 0. Y un número entero es divisible por 4 si y sólo si, el número formado por sus dos dígitos del extremo derecho es divisible por 4. Compruebe con los siguientes enteros la divisibilidad por 3, 4, 5 y 9.
a. 637 425 403 705 125 b. 12 858 306 120 312
c. 517 924 440 926 512 d. 14 328 083 360 232
37. Utilice el teorema de factorización única para escribir los números enteros siguientes en su forma factorizada estándar.
a. 1 176 b. 5 733 c. 3 675
38. Supongamos que en la forma factorizada estándar a p e1 1 p e2 2 · · · p ek k , donde k es un entero positivo, p1, p2, . . . , pk son números primos número y e1, e2, . . . , ek son enteros positivos.
a. ¿Cuál es la forma factorizada estándar para a2?
b. Encuentre el menor entero positivo n tal que 25 3 52 73 n es un cuadrado perfecto. Escriba el producto resultante como un cuadrado perfecto.
c. Encontrar el menor entero positivo m tal que 22 35 7 11 m es un cuadrado perfecto. Escriba el producto resultante como un cuadrado perfecto.
39. Supongamos que la forma factorizada estándar de a p e1 1 p e2 2 · · · p ek k , donde k es un entero positivo, p1, p2, . . . , pk son números primos número y e1, e2, . . . , ek son enteros positivos.
a. ¿Cuál es la forma factorizada estándar para a3?