28. Demostração: Dejemos que a0, a1, a2, … sea la sucesión definida recursivamente por a0 1 y ak kak฀1 para todos los enteros k 1. Aceptemos qu...

28. Demostração: Dejemos que a0, a1, a2, … sea la sucesión definida recursivamente por a0 1 y ak kak฀1 para todos los enteros k 1. Aceptemos que la propiedad P(n) sea la ecuación an n! Demostremos por inducción matemática que P(n) es verdadero para todos los enteros n 0. Demostración de que P(0) es verdadera: Cuando n 0, el lado derecho de la ecuación es 0! 1 y por definición de a0, a1, a2, …, el lado izquierdo de la ecuación, a0, también es 1. Así la propiedad es verdadera para n 0. Demostración de que para todos los enteros k 0, si P(k) es verdadero, entonces P(k 1) también es verdadero: Supongamos ak k para algún entero k 0. [Esto es la hipótesis de inducción.] Debemos demostrar que ak 1 (k 1) Pero ak 1 k 1 ak por definición de a0 a1 a2 k 1 k sustituyendo la hipótesis de inducción k 1 por definición de factorial.. [Así que, si P(k) es verdadero, entonces P(k 1) también es verdadero.]