b) El vector de Poynting Promedio está dado por 〈 ~|S|〉 = 1 2µ0 | ~E× ~B∗| = 1 2µ0 ∣∣∣∣E0x̂e jω( y+z c √ 2 −t) × E0 c √ 2 (ŷ − ẑ)e−jω( y+z c √...

b) El vector de Poynting Promedio está dado por
〈 ~|S|〉 =
1
2µ0
| ~E× ~B∗| = 1
2µ0
∣∣∣∣E0x̂e
jω( y+z
c
√
2
−t) × E0
c
√
2
(ŷ − ẑ)e−jω( y+z
c
√
2
−t)
∣∣∣∣ =
E2
0
µ0c
√
2
|(ŷ+ẑ)| = E2
0
µ0c
II. SOLUCIONES 173
Solución 16.6 P X
a) Para determinar el vector de Poynting es necesario determinar el valor del campo magnético ~B.
Luego para el campo ~E1 se tiene que
~∇ × ~E1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x̂ ŷ ẑ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0 E10 cos(kx− ωt) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= E10k sin(kx− ωt)ẑ
y dado que por Maxwell
∂ ~B1
∂t
= −k sin(kx− ωt)ẑ =⇒ ~B1(x, t) = E10kω cos(kx− ωt)ẑ =
E10c
cos(kx− ωt)ẑ
El cálculo es análogo para determinar ~B2, por lo tanto por principio de superposición se tiene
que
~E = [E10 cos(kx− ωt) + E20 cos(kx− ωt+ φ)]ŷ
~B =
1
c[E10 cos(kx− ωt) + E20 cos(kx− ωt+ φ)]ẑ
Donde finalmente el vector de Poiynting vale
~S =
~E × ~B
µ0
=
1
cµ0[E10 cos(kx− ωt) + E20 cos(kx− ωt+ φ)]2x̂
b) La intensidad de la onda está dada por
I = 〈S〉 =
1
T
T̂
0
1
cµ0[E10 cos(kx− ωt) + E20 cos(kx− ωt+ φ)]2dt
Antes de comenzar a trabajar la expresión debe usarse el hecho que
1
T
T̂
0
cos2 (kx− ωt+ φ) =
1
2
Por lo tanto
I =
1
cµ0T

E2
10
T̂
0
cos2 (kx− ωt+ φ)dt+ E2
20
T̂
0
cos2 (kx− ωt)dt
+2E10E20
T̂
0
cos (kx− ωt+ φ) cos (kx− ωt)dt


=
1
cµ0

E2
10
2
+
E2
20
2
+2E10E20
T
T̂
0
cos (kx− ωt+ φ) cos (kx− ωt)dt


Para la última integral se tiene que
1
T
T̂
0
cos (kx− ωt+ φ) cos (kx− ωt)dt =
1
T
T̂
0
[cos (kx− ωt) cosφ− sin (kx− ωt) sinφ] cos (kx− ωt)dt
=
cosφ
T
T̂
0
cos2 (kx− ωt)dt+
sinφ
T
T̂
0
cos (kx− ωt) sin (kx− ωt)dt
=
cosφ
2
+
sinφ
2T
T̂
0
sin (2(kx− ωt))dt
=
cosφ
2
Finalmente la intensidad vale
I =
1
cµ0
[
E2
10
2
+
E2
20
2
+ E10E20 cosφ
]
c) Repitiendo nuevamente los cálculos de parte anterior se tiene que el campo magnético asociado
a ~E1 se mantiene, mientras tanto el campo asociado a ~E2 vale
~∇ × ~E2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x̂ ŷ ẑ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
0 E20 cos(kx+ ωt+ φ) 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= E20k sin(kx+ ωt)ẑ
Nuevamente por Maxwell,
∂ ~B2
∂t
= −E20k sin(kx+ ωt+ φ)ẑ =⇒ ~B2(x, t) = −E20kω cos(kx+ ωt+ φ)ẑ =
−E20c
cos(kx+ ωt+ φ)ẑ
donde se tiene que
~E = [E10 cos(kx− ωt) + E20 cos(kx+ ωt+ φ)]ŷ
~B =
1
c[E10 cos(kx− ωt)− E20 cos(kx+ ωt+ φ)]ẑ
lo que implica que en este caso
~S =
1
cµ0[E2
10 cos2(kx− ωt)− E2
20 cos2(kx+ ωt+ φ)]x̂
Por lo que la intensidad de la onda vale
I =
1
T
T̂
0
1
cµ0[E2
10 cos2(kx− ωt)− E2
20 cos2(kx+ ωt+ φ)]dt =
1
cµ0
[
E2
10
2
− E2
20
2
]