Ejercicio 1.3.15. Propulsión de cohetes. La ley de Newton d~p dt = ~F dice que la variación temporal de la cantidad de movimiento ~p de un sistema es igual a la fuerza externa ~F que actúa. Supongamos que tenemos un sistema formado por un cohete y sus gases de combustión. El cambio de cantidad de movimiento del sistema es: dp = mdv+cdm, donde m(t) y v(t) son la masa del cohete y su velocidad en el instante t, y dm y c son la masa y la velocidad de los gases expulsados (con respecto al cohete) en el instante t. Suponemos que el combustible se consume a una razón constante δ, es decir, dm/dt = −δ ⇒ m(t) = m0−δt, siendo m0 la masa inicial. Las fuerzas que actúan son la de la gravedad y la fuerza resistiva, en total F = −mg − kv, de forma que la ecuación diferencial del movimiento del cohete es (dedúzcala): m(t)v̇ + kv = −m(t)g + δc, ecuación lineal no homogénea que admite un factor integrante Φ(t) = (m0 − δt)−k/δ (dedúzcalo). Supongamos que tenemos un cohete con un peso inicial de 25 toneladas, de las cuales 20 son mezcla de combustible que se quemará a una tasa de 1 ton/s. La velocidad de escape del gas es de 1km/s. Se enciende en t = 0 con y(0) = 0 y v(0) = 0. Encuentre la velocidad (en km/hora) al consumirse todo el combustible: 1) si no hay rozamiento, 2) si el rozamiento es de k = 0,2 �