Método de variación de las constantes La búsqueda de la solución general de la ecuación lineal no homogénea pasa por encontrar un sistema fun...

Método de variación de las constantes
La búsqueda de la solución general de la ecuación lineal no homogénea pasa por encontrar un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y después una solución particular de la completa. Cuando ya se conoce la s.g.h., el cálculo de una solución particular puede hacerse por el método de variación de las constantes. En este caso, suponemos que la solución particular que buscamos podrá escribirse, en términos del sistema fundamental S = {x1(t), x2(t), . . . , xn(t)} del que ya disponemos, como

xp(t) = c1(t)x1(t) + c2(t)x2(t) + · · ·+ cn(t)xn(t) (2.7)

para funciones adecuadas ci(t), i = 1, . . . , n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del isomorfismo lineal entre el espacio de soluciones de L(x) = 0 y (DIn − A)~z = ~0. Aśı, la ecuación (2.7) puede escribirse de manera equivalente como

~zp(t) = Z(t)~c(t),

donde ~zp = (xp, x ′ p, . . . , x (n−1) p )T , ~c = (c1, c2, . . . , cn) T , Z es la matriz fundamental definida en 2.1.10 y se han introducido condiciones auxiliares como ~xT (t)~c′(t) = 0, etc. Para una función ~zp definida de esta manera ocurrirá que

~z′p(t) = Z ′(t)~c(t) + Z(t)~c′(t) = A(t)Z(t)~c(t) + Z(t)~c′(t),

donde hemos utilizado que (DIn − A)~zk = ~0, k = 1, . . . , n para las columnas ~zk de la matriz fundamental Z(t). Si queremos que ~zp cumpla la ecuación no homogénea ~z′p(t) = A(t)~zp(t) +~b(t), se concluye que

Z(t)~c′(t) = ~b(t)⇒ ~c(t) = ∫ Z−1(t)~b(t)dt = ∫ −→ W [S](t) W [S](t) dt,

donde, en la última igualdad, se ha utilizado el método de Cramer con −→ W [S] = (W1[S],W2[S], . . . ,Wn[S]) y Wj [S] el determinante que resulta de sustituir la columna j en el Wronskiano W [S] por ~b. Aśı, la solución general de (DIn − A)~z = ~b es

~z(t) = Z(t)~α + Z(t) ∫ Z−1(t)~b(t)dt.

Si se imponen condiciones iniciales ~z(t0) = ~z0, la solución es:

~z(t) = Z(t)Z−1(x0)~z0 + Z(t) ∫ x x0 Z−1(t)~b(t)dt. (2.8)

Observación 2.1.15. Como ilustración, y sin usar la equivalencia con sistemas de orden 1, discutamos el caso particular de EDOs lineales homogeneas de orden n = 2
x′′ + P (t)x′ +Q(t)x = f(t).
Conocidas dos soluciones independientes x1(t) y x2(t) de la ecuación homogenea, escribimos cualquier solución x(t) como combinación lineal de ambas
x(t) = C1(t)x1(t) + C2(t)x2(t)
donde permitimos que C1 y C2 dependan de t (“variación de la constante”). Derivando la ecuación anterior se obtiene
x′(t) = C1x ′ 1(t) + C ′ 1x1(t) + C2x ′ 2(t) + C ′ 2x2(t).
Derivando de nuevo, x′′(t) = . . . , sustituyendo en x′′ + P (t)x ′ +Q(t)x = f(t) y teniendo en cuenta que x1,2 son soluciones de la ecuación homogenea, x′′1,2+P (t)x ′ 1,2+Q(t)x1,2 = 0, al final se llega a que
d dt (x1C ′ 1 + x2C ′ 2) + P (t)(x1C ′ 1 + x2C ′ 2) + (x′1C ′ 1 + x′2C ′ 2) = f(t).
Para determinar C1,2 necesitamos dos ecuaciones y, por lo pronto, solo tenemos una. Vamos a imponer que C1,2 verifiquen además x1C ′ 1 + x2C ′ 2 = 0 (la justificación es que al final se obtiene una solución), con lo cual la ecuación anterior se simplifica a x′1C ′ 1+ x′2C ′ 2 = f(t).
Con estas dos condiciones
x1C ′ 1 + x2C ′ 2 = 0, x′1C ′ 1 + x′2C ′ 2 = f(t),
podemos despejar
C ′ 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ 0 x2(t) f(t) x ′ 2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) x2(t) x ′ 1(t) x ′ 2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ , C ′ 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) 0 x ′ 1(t) f(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) x2(t) x ′ 1(t) x ′ 2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ,
y obtener C1,2 integrando. Este proceso es general, pero bastante laborioso. Para ecuaciones con coeficientes constantes y funciones f(t) de tipo polinómico, exponencial, seno y coseno, usaremos mejor el método de los coeficientes indeterminados que explicaremos más adelante.
2.2. EDOs lineales con coeficientes constantes
Existen métodos de resolución de ecuaciones lineales como (2.3) basados en desarrollos en serie de potencias. No obstante, nosotros no trataremos estos métodos aqúı y pasaremos a abordar el caso más sencillo en que los coeficientes aj(t) de (2.3) son constantes ak(t) = ak. Sin pérdida de generalidad podemos tomar an = 1, de manera que la ecuación a estudiar es
L(x) = x(n) + an−1x (n−1) + · · ·+ a1ẋ+ a0 = f.
Comencemos por buscar un sistema fundamental de la EDO homogénea L(x) = 0.
2.2.1. EDOs homogéneas con coeficientes constantes
Para encontrar la solución general de
L(x) = x(n) + an−1x (n−1) + · · ·+ a1ẋ+ a0x = 0, (2.9)
ensayaremos funciones del tipo x(t) = eλt que, sustituidas en la ecuación anterior L(x) = 0, nos queda L(eλt) = eλtL[λ] = 0, donde
L[λ] = λn + an−1λ n−1 + · · ·+ a1λ+ a0, (2.10)
denota un polinomio de grado n en λ al que denominaremos polinomio caracteŕıstico de (2.9). La ecuación L[λ] = 0 se denomina ecuación caracteŕıstica o secular.
Teorema 2.2.1. La solución general de (2.9) es una combinación lineal de las funciones
tkeβt cos(ωt), tkeβt sen(ωt),
donde λ = β + iω recorre el conjunto de las ráıces de (2.10) con ω ≥ 0, y 0 ≤ k ≤ m(λ), siendo m(λ) la multiplicidad de λ.