Para funciones adecuadas ci(t), i = 1, . . . , n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del isomorfismo lineal entre el espacio de soluciones de L(x...

Para funciones adecuadas ci(t), i = 1, . . . , n. Para comprenderlo mejor, hacemos uso del isomorfismo lineal entre el espacio de soluciones de L(x) = 0 y (DIn − A)~z = ~0. Aśı, la ecuación (2.7) puede escribirse de manera equivalente como ~zp(t) = Z(t)~c(t), donde ~zp = (xp, x ′ p, . . . , x (n−1) p )T , ~c = (c1, c2, . . . , cn) T , Z es la matriz fundamental definida en 2.1.10 y se han introducido condiciones auxiliares como ~xT (t)~c′(t) = 0, etc. Para una función ~zp definida de esta manera ocurrirá que ~z′p(t) = Z ′(t)~c(t) + Z(t)~c′(t) = A(t)Z(t)~c(t) + Z(t)~c′(t), donde hemos utilizado que (DIn − A)~zk = ~0, k = 1, . . . , n para las columnas ~zk de la matriz fundamental Z(t). Si queremos que ~zp cumpla la ecuación no homogénea ~z′p(t) = A(t)~zp(t) +~b(t), se concluye que Z(t)~c′(t) = ~b(t)⇒ ~c(t) = ∫ Z−1(t)~b(t)dt = ∫ −→ W [S](t) W [S](t) dt, donde, en la última igualdad, se ha utilizado el método de Cramer con −→ W [S] = (W1[S],W2[S], . . . ,Wn[S]) y Wj [S] el determinante que resulta de sustituir la columna j en el Wronskiano W [S] por ~b. Aśı, la solución general de (DIn − A)~z = ~b es ~z(t) = Z(t)~α + Z(t) ∫ Z−1(t)~b(t)dt. Si se imponen condiciones iniciales ~z(t0) = ~z0, la solución es: ~z(t) = Z(t)Z−1(x0)~z0 + Z(t) ∫ x x0 Z−1(t)~b(t)dt. (2.8) Observación 2.1.15. Como ilustración, y sin usar la equivalencia con sistemas de orden 1, discutamos el caso particular de EDOs lineales homogeneas de orden n = 2 x′′ + P (t)x′ +Q(t)x = f(t). Conocidas dos soluciones independientes x1(t) y x2(t) de la ecuación homogenea, escribi- mos cualquier solución x(t) como combinación lineal de ambas x(t) = C1(t)x1(t) + C2(t)x2(t) donde permitimos que C1 y C2 dependan de t (“variación de la constante”). Derivando la ecuación anterior se obtiene x′(t) = C1x ′ 1(t) + C ′ 1x1(t) + C2x ′ 2(t) + C ′ 2x2(t). 2.2. EDOs lineales con coeficientes constantes 35 Derivando de nuevo, x′′(t) = . . . , sustituyendo en x′′ + P (t)x′ +Q(t)x = f(t) y teniendo en cuenta que x1,2 son soluciones de la ecuación homogenea, x′′1,2+P (t)x ′ 1,2+Q(t)x1,2 = 0, al final se llega a que d dt (x1C ′ 1 + x2C ′ 2) + P (t)(x1C ′ 1 + x2C ′ 2) + (x′1C ′ 1 + x′2C ′ 2) = f(t). Para determinar C1,2 necesitamos dos ecuaciones y, por lo pronto, solo tenemos una. Vamos a imponer que C1,2 verifiquen además x1C ′ 1 + x2C ′ 2 = 0 (la justificación es que al final se obtiene una solución), con lo cual la ecuación anterior se simplifica a x′1C ′ 1+ x′2C ′ 2 = f(t). Con estas dos condiciones x1C ′ 1 + x2C ′ 2 = 0, x′1C ′ 1 + x′2C ′ 2 = f(t), podemos despejar C ′ 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ 0 x2(t) f(t) x′2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) x2(t) x′1(t) x′2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ , C ′ 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) 0 x′1(t) f(t) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x1(t) x2(t) x′1(t) x′2(t) ∣ ∣ ∣ ∣ , y obtener C1,2 integrando. Este proceso es general, pero bastante laborioso. Para ecu- aciones con coeficientes constantes y funciones f(t) de tipo polinómico, exponencial, seno y coseno, usaremos mejor el método de los coeficientes indeterminados que explicaremos más adelante. 2.2. EDOs lineales con coeficientes constantes Existen métodos de resolución de ecuaciones lineales como (2.3) basados en desarrollos en serie de potencias. No obstante, nosotros no trataremos estos métodos aqúı y pasaremos a abordar el caso más sencillo en que los coeficientes aj(t) de (2.3) son constantes ak(t) = ak. Sin pérdida de generalidad podemos tomar an = 1, de manera que la ecuación a estudiar es L(x) = x(n) + an−1x (n−1) + · · ·+ a1x ′ + a0 = f. Comencemos por buscar un sistema fundamental de la EDO homogénea L(x) = 0. 2.2.1. EDOs homogéneas con coeficientes constantes Para encontrar la solución general de L(x) = x(n) + an−1x (n−1) + · · ·+ a1ẋ+ a0x = 0, (2.9) ensayaremos funciones del tipo x(t) = eλt que, sustituidas en la ecuación anterior L(x) = 0, nos queda L(eλt) = eλtL[λ] = 0, donde L[λ] = λn + an−1λ n−1 + · · ·+ a1λ+ a0, (2.10) eλ±t = e(−1±2i)t = e−te±i2t = e−t(cos(2t)± i sen(2t)). Tomando las partes real e imaginaria, la solución general se escribe x(t) = C1e −t cos(2t) + C2e −t sen(2t) � 1Nótese que si, en particular, γ = β + iω tiene parte imaginaria ω 6= 0, entonces se tendrá 0 = L[D](tkeγt) = L[D](tkeβt cos(ωt) + itkeat sen(ωt)) = L[D](tkeβt cos(ωt)) + iL[D](tkeat sen(ωt)), y por tanto L[D](tkeβt cos(ωt)) = 0 = L[D](tkeβt sen(ωt). enen las siguientes posibilidades: (i) Si µ NO es ráız del polinomio caracteŕıstico (2.10) entonces L(x) = f tiene una solución particular de la forma xp(t) = eβt(r(t) cos(ωt) + s(t) sen(ωt)), con r(t) y s(t) polinomios de grado a lo sumo k, cuyos 2(k + 1) coeficientes se determinan sustituyendo xp en L(xp) = f e igualando término a término. (ii) Si µ es ráız del polinomio caracteŕıstico (2.10) con multiplicidad m, entonces L(x) = f tiene una solución particular de la forma xp(t) = eβttm(r(t) cos(ωt) + s(t) sen(ωt)), con r(t) y s(t) polinomios de grado a lo sumo k. En este caso diremos que existe “RESONANCIA”. 38 Caṕıtulo 2. Sistemas de ecuaciones y ecuaciones lineales de orden superior La demostración de este Teorema puede verse en el Apéndice B. Ejemplo 2.2.10. Resolver ẍ − 4ẋ − 5x = t2 + 2e3t. Según el ejemplo 2.2.2 la solución general de la ecuación homogénea es xh(t) = C1e 5t + C2e −t. Como el lado derecho de la ecuación dada tiene un polinomio de segundo grado y una exponencial, usando el principio de superposición 2.1.14 y el método de los coeficientes indeterminados 2.2.9, propon