De [2] y referencia [3] 97 98 Caṕıtulo 4. Funciones especiales elementales 4.1. Ecuación y funciones de Hermite Sea la ecuación y′′ − 2xy′ + 2νy = 0 (4.1) que aparece al resolver la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico. Esta ecuación no tiene puntos singulares, ya que P (x) = −2x y Q(x) = 2ν son anaĺıticas en todo R. Por lo tanto, tendremos asegurda la existencia de dos soluciones en serie centradas en x0 = 0 con radio de convergencia infinito. En efecto, sustituyendo (3.3) en y′′ − 2xy′ + 2νy = ∞∑ n=2 cnn(n− 1)xn−2 − ∞∑ n=1 2cnnx n + ∞∑ n=0 2νcnx n. Hacemos n− 2 = m en la primera suma de manera que y′′ − 2xy′ + 2νy = 2c2 + 2νc0 + ∞∑ m=1 [cm+2(m+ 2)(m+ 1)− 2mcm + 2νcm]x m = 0 lo cual implica que c2 = −νc0, cm+2 = 2m− 2ν (m+ 2)(m+ 1) cm, m = 1, 2, 3, . . . Nótese que c2 = −νc0 se corresponde en este caso con m = 0, de manera que los co- eficientes c se determinan en pasos de 2. Por ejemplo, c2 se determina en términos de c0, mientras que c3 se determina en términos de c1. Tomemos entonces primeramente m + 2 = 2k ⇒ m = 2k − 2 = 2(k − 1) y llamemos cm+2 = c2k = ak, con lo cual cm = c2(k−1) = ak−1. La recurrencia nos dice en este caso c2k = ak = 4(k − 1)− 2ν 2k(2k − 1) ak−1 = (k − 1)− ν/2 k(k − 1/2) ak−1 = · · · = (−ν/2)k k!(1/2)k a0, a0 = c0 donde hemos hecho uso del śımbolo de Pochhammer definido en (3.6). Tomemos ahora m + 2 = 2k + 1 ⇒ m = 2k − 1 = 2(k − 1) + 1 y llamemos cm+2 = c2k+1 = bk, con lo cual cm = c2(k−1)+1 = bk−1. La recurrencia nos dice en este caso c2k+1 = bk = 4k − 2− 2ν (2k + 1)2k bk−1 = k − 1/2− ν/2 (k + 1/2)k bk−1 = · · · = (1− ν)/2)k k!(3/2)! b0, b0 = c1. Combinando ambos resultados, la solución es una combinación lineal y(x) = ∞∑ n=0 cnx n = ∞∑ k=0 c2kx 2k + ∞∑ k=0 c2k+1x 2k+1 = c0y1(x) + c1y2(x) con y1(x) = ∞∑ k=0 (−ν/2)k k!(1/2)k x2k, y2(x) = ∞∑ k=0 (1− ν)/2)k k!(3/2)! x2k+1. Para ν entero positivo, las series anteriores se truncan dando lugar a los polinomios de Hermite. Si ν es par, y1(x) proporciona una solución polinómica par. Si ν es impar, y2(x) proporciona una solución polinómica impar. 4.2. Ecuación y funciones de Laguerre 99 4.2. Ecuación y funciones de Laguerre xy′′ + (1 + α− x)y′ + λy = 0 (4.2) Desarrollar en torno a x0 = 0. Haced primero el caso α = 0 (funciones de Laguerre) y ver que existen soluciones que son polinomios Ln(x) de grado n para λ = n = 0, 1, 2, 3, . . . . Para α = 1, 2, 3, . . . , ver que las soluciones polinómicas se pueden escribir como Lα n(x) = 1 n! dα dxαLn(x), con α ≤ n (estos son los denominados polinomios asociados de Laguerre). Véase también el siguiente tema para una relación con la ecuación hipergeométrica confluente y sus soluciones. 4.3. Ecuación y funciones de Jacobi (1− x2)y′′ + (β − α− (α+ β + 2)x)y′ + n(n+ α + β + 1)y = 0 (4.3) Véase siguiente tema para una relación con la ecuación hipergeométrica y sus soluciones. 4.3.1. Ecuación y funciones de Legendre La ecuación de Legendre (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0 (4.4) apareció en 1784 en el estudio de la atracción de esferoides. Podemos restringirnos al caso α > −1 porque si α ≤ −1, siempre podemos hacer el cambio α = −(1 + γ), con γ ≥ 0, que lleva al mismo tipo de ecuación. Resolveremos en torno al punto ordinario x = 0. Como las singularidades más cercanas se encuentran en x = ±1 (los ceros de (1−x2) = 0), entonces la región de convergencia es |x| < 1. se puede demostrar (hacerlo) que la soluciones independientes son: y1(x) = ∞∑ k=0 (−α/2)k(α+1 2 )k k!(1/2)k x2k, (4.5) y2(x) = ∞∑ k=0 (1−α 2 )k(1 + α 2 )k k!(3/2)k x2k+1. (4.6) Si α = 2N ≥ 0 (cero o entero par positivo), la función y1 se reduce a un polinomio de grado 2N que contiene solo potencias pares de x. De la misma forma, si α = 2N + 1 > 0 (entero impar positivo) la serie y2 se reduce a un polinomio de grado 2N +1 que contiene solo potencias impares de x. Los polinomios de Legendre Pn(x) se definen entonces como las soluciones de la ecuación de Legendre con α = n y que están normalizados de manera 100 Caṕıtulo 4. Funciones especiales elementales que Pn(1) = 1. Se puede demostrar que existe una fórmula general para Pn dada por (fórmula de Rodrigues) Pn(x) = 1 2n [n/2] ∑ k=0 (−1)k(2n− 2k)! k!(n− k)!(n− 2k)! xn−2k = 1 2nn! dn dxn (x2 − 1)n, n = 0, 1, 2, . . . . (4.7) donde [n/2] denota aqúı el entero mayor más pequeño o igual que n/2. Nótese que, haciendo uso de la ecuación diferencial [(1− x2)y′]′ = −α(α+ 1)y = 0 de donde se sigue que [(1− x2)P ′ n] ′ = −n(n + 1)Pn = 0, y [(1− x2)P ′ m] ′ = −m(m+ 1)Pm = 0. Multiplicando la primera ecuación por Pm y la segunda por Pn, integrando por partes y sustrayendo una ecuación de la otra, se llega a la propiedad de ortogonalidad para los polonomios de Legendre ∫ 1 −1 Pn(x)Pm(x)dx = 2 2n+ 1 δn,m. (4.8) Es más, cualquier polinomio f(x) de grado n se puede expresar como combinación de polinomios de Legendre con coeficientes dados por f(x) = n∑ k=0 akPk(x), ak = 2k + 1 2 ∫ 1 −1 f(x)Pk(x)dx. (4.9) Esta es la denominada Serie de Fourier-Legendre. La ecuación de Legendre surge al re- solver la ecuación de Laplace (véase más tarde sección 7.2.3) en coordenadas esféricas, haciendo el cambio x = cos(θ), con 0 < θ < π el ángulo polar. Relación con los armónicos esféricos ... 4.3.2. Ecuación y funciones de Chebyshev De primer (1− x2)y′′ − xy′ + α