Observaciones del docente al primer momento de la clase En el análisis global de la clase, desarrollado anteriormente, describimos la estrategia que utiliza el docente para que los alumnos se aproximen intuitivamente a la comprensión de la noción de límite funcional. Es claro, por lo tanto, que la decisión del docente es no partir de la definición conceptual de límite funcional, sino que su estrategia es que los alumnos asignen significados a partir de ejemplos, intentando llegar a la definición. Si bien el mensaje en lenguaje natural tiene un hilo conductor claro y fluido, existen algunos momentos de la clase donde se advierten imprecisiones matemáticas en el medio oral. En ningún momento de la clase el docente dicta algo de lo que enuncia oralmente para que el alumno pueda registrarlo en su cuaderno, ni tampoco deja escrito con palabras en el pizarrón lo que enuncia oralmente. En el medio escrito quedan plasmados símbolos que mirados en sí mismos no presentan un hilo conductor. Selecciona solamente expresiones simbólicas e incorpora algunas palabras sueltas como izquierda y derecha, (cuando se refiere a la forma de aproximarse a la función en un punto) pero que no comunica el mensaje dado por el docente en el medio oral. Notemos que el alumno AL 1 sólo copia del pizarrón y no reconstruye el hilo conductor. No indica el resultado del límite, – 4, en el gráfico; no marca los entornos en los ejes que dibujó el docente y no agrega ni las flechas ni las palabras izquierda y derecha. Esto en cuanto a lo que quedó registrado en el pizarrón, pero además, tampoco agrega ninguna aclaración personal en su apunte. El alumno AL 2 reconstruye parcialmente en su escrito el hilo conductor. Agrega aclaraciones que se corresponden con lo dicho por el docente, en el orden que lo expone en la clase y también alguna pequeña aclaración personal (por ejemplo, la palabra hipérbola). Observaciones del docente al segundo momento de la clase En este segundo momento de la clase el docente decide escribir la definición de límite, aclarando que primero lo hará en símbolos y que la irá desmenuzando. Enuncia nombres de los símbolos épsilon, delta; se detiene a realizar un breve repaso de la noción de módulo para luego poder aplicarlo en la definición, entendiendo que escribir la definición sin utilizar módulo es desmenuzarla. Mientras opera con ambos módulos presentes en la definición, menciona la implicación, recordando el nombre del símbolo. Luego explica en lenguaje natural oral qué es un entorno reducido, quedando únicamente en el pizarrón un dibujo del entorno, y en el afiche su notación. Vuelve luego al ejemplo 1, mostrando los entornos dibujados en los ejes coordenados y aclarando que δ es una distancia y por eso es positiva. El docente finaliza así lo que considera su explicación de la definición de límite funcional. Decimos que en el medio oral el profesor utiliza un registro coloquial, cuyo hilo conductor no está dirigido a que los alumnos se aproximen a comprender la definición de límite. Expresamos que se aproximen porque vale aclarar que el concepto de límite es una noción sumamente compleja y muy difícil de comprender en un primer momento. En el medio escrito, no encontramos un hilo conductor, pues el docente selecciona solamente expresiones en lenguaje simbólico y en ningún momento de la clase queda registro de algo en lengua natural. 5.4.4. Conclusiones Atendiendo a las decisiones que pueden tomar los alumnos en una clase de Matemática, en cuanto a lo que dejan registrado en sus apuntes, encontramos diversidad de matices. El análisis de este caso nos permite inferir que el Alumno 1, quien opta por copiar sólo lo que está escrito en el pizarrón, sin registrar nada de lo enunciado oralmente por el docente en lenguaje natural puede, entre otras, enfrentarse a tres situaciones: Si comprende el lenguaje natural que el docente utiliza en el medio oral, puede o no extraer significado de las expresiones simbólicas cuando vuelva a leer su apunte. Si no comprende el lenguaje natural que el docente utilizó en el medio oral, puede ocurrir que, además de copiar lo que queda en el pizarrón, copie lo que dice el docente para luego intentar comprender a partir de más elementos. Si no comprende el lenguaje natural que el docente utiliza oralmente puede ocurrir que no intente copiar lo que dice el docente, y que sólo copie lo del pizarrón, sin darse cuenta de lo perdido. A su vez, el Alumno 2, quien opta por copiar lo que está escrito en el pizarrón y agrega alguna frase o palabra de lo que el docente expone en el medio oral puede, entre otras, enfrentarse a dos situaciones: Si comprende el lenguaje natural que oralmente utilizó el docente, puede extraer o no significado del lenguaje simbólico cuando vuelva a leer su apunte, y seguramente tendrá posibilidades de hacerlo. Si no comprende el lenguaje natural que el docente utilizó oralmente, puede ocurrir que copie lo que dice el docente para luego intentar comprenderlo. Los alumnos involucrados en este estudio ya han adquirido a lo largo de su escolaridad lenguaje oral y lenguaje simbólico, y el docente a su vez incluyó en su explicación los nombres de los nuevos símbolos utilizados en esta nueva definición de límite. Podemos entonces suponer que el alumno está en condiciones de leer la definición en lenguaje simbólico. Sin embargo, esta lectura a manera de decodificación, no asegura que comprenda el significado ni le otorgue sentido a este concepto. Recuperar el mensaje encerrado en la expresión , o al menos asignarle significado, no es tarea fácil. Si bien el lenguaje natural utilizado por el docente en el medio oral tiene un hilo conductor, éste no aparece en el medio escrito y el profesor no tiene la intención de que el alumno copie en sus apuntes algo de lo que enuncia oralmente. Existe sí una síntesis de saberes previos y de nuevos símbolos en el afiche utilizado por el docente, y en el medio escrito (pizarrón) prevalecen casi exclusivamente expresiones simbólicas. En el segundo momento relatado de la clase, el docente define el concepto de límite funcional. La definición que escribe no está completa, no presentó la función, ni el objeto matemático que estaba definiendo, ni su notación. Lo notable es que no comienza con un análisis global de la definición, sino que atiende a los símbolos y a realizar una revisión de nociones ya conocidas y/o comprendidas por los alumnos, como el concepto de módulo. El docente decodifica los símbolos, con un formato particular de columnas, como indicamos en la descripción del episodio. El alumno en este caso debe extraer significado ya que una definición es parte de la teoría formal matemática, la cual en general se expresa en lenguaje simbólico. Un alumno al extraer significado debe poder explicitar la asignación de significados asociados a los símbolos. Nosotros consideramos, además, que el alumno debe comprender el significado global de dicha definición, otorgarle un cabal sentido y comprender el mensaje que encierran los símbolos. Según Cañón (1993), la Lógica le otorga consistencia a la Matemática, pero eso no la agota. Una de las características de la investigación en Educación Matemática es la diversidad de disciplinas que se utilizan. En nuestro caso, la Linguística nos aporta algunos elementos importantes. Lo sintáctico y lo semántico son dos dimensiones del lenguaje, y aristas también utilizables para el análisis semiótico. Lo sintáctico es el análisis de la relación entre los distintos signos o símbolos del lenguaje y la semántica es el estudio de la relación entre los signos y sus significados. Si nos remitimos al lenguaje simbólico en Matemática, a esta decodificación símbolo a símbolo mencionada anteriormente en este estudio, la podemos relacionar débilmente con esta dimensión sintáctica del lenguaje; y a la captura del mensaje que ocultan las proposiciones matemáticas, también podemos relacionarla con la segunda dimensión nombrada anteriormente (el análisis semántico), el cual a su vez es mucho más contextualizado. Pero esto no se agota, todo vuelve a relacionarse en un amplio entretejido complejo. Gardner (1991) cita: [...] una de las dificultades más importantes que se produce en el aprendizaje de las Matemáticas tiene que ver precisamente con la diferente utilización del léxico en la vida cotidiana y en el lenguaje matemático. Mientras que en una conversación normal se tiene bastante libertad en lo referente al uso del lenguaje y las interpretaciones del mismo vienen dadas por el contexto, en el caso de las Mat