Consultar ecuación (7.17) pág. 157. § 7.6 Teoría de las Perturbaciones Planetarias. Resumen. Vamos a analizar el movimiento del planeta m entorno del Sol; sean {a, e, i, Ω, ϖ, ε} sus elementos elípticos; consideremos además, otro planeta m´ cuyos elementos orbitales son {a´, e´, i´, Ω´, ϖ´,ε´}. Hemos estudiado que el movimiento de m entorno del Sol, perturbado por el planeta m´, queda completamente determinado por un sistema de seis ecuaciones diferenciales en los elementos elípticos de m en cuyos segundos miembros aparece m´ como factor y, ecuaciones análogas para el planeta m´; consultar ecuaciones (7.18) pág. 159. También hemos analizado que dichas ED se pueden escribir de la siguiente forma: Seis ecuaciones para el planeta m −−−−−ε∂∂+ϖ∂∂=ε∂∂=RCRBCRABtdedtdad(7.21) y seis ecuaciones equivalentes para los elementos elípticos de m´ A´ = an2, B´ = eane12−2, C´ = −eane)e11(e12−2−, - - - Idem para A’, B’, C’, etc. Además vimos, que la función perturbadora R tiene a la masa m´ como factor y se puede expresar de la forma: R = Σ N eHe´HηF cos D donde: N = N ´aa asumiendo que a < a´; η = sen 2J; D = α λ + α´ λ´ + β ω + β´ϖ´ − 2 γ τ´; donde λ = n t + ε + τ´ − τ; ω = ϖ + τ´− τ. Siendo τ y τ´ las longitudes en las orbitas de m y m´, del nodo ascendente de m respecto de m´; ver Figura 39. En el ítem anterior, estudiamos que la sexta ecuación diferencial del sistema (7.21) definida como 1: tdεd = −AaR∂∂+ - - - § 7.6 Teoría de las perturbaciones planetarias. 1 Consultar ecuación (7.20) pág. 163. 165 Fig. 39. G es el punto de intersección de las órbitas de m y m´; τ y τ´ son las longitudes, en dichas órbitas, de los nodos ascendentes respecto de G. aparece la derivada parcial de aR∂∂, la cual se calcula a partir del desarrollo de la función perturbadora R; teniendo en cuenta que a (semi eje mayor del planeta m) aparece implícitamente en N y explícitamente en D ¿ porqué ?. Entonces, si calculamos aR∂∂ aparece un término secular (proporcional al tiempo) 1, el cual se puede eliminar reemplazando l y l´ por las expresiones: l = n t + ε = ∫ n d t + ε1, l´ = n´ t + ε´ = ∫ n´ d t + ε´1. (7.22) Si indicamos con: ρ = ∫ n d t, y ρ´ = ∫ n´ d t; y luego reemplazamos en el argumento D se tiene D = α ( ρ + ε1 + τ´ − τ ) + α´ ( ρ´ + ε´1 ) + β ω + β´ ϖ´ − 2 γ τ´. NOTA: Las variables ε1 y ε´1 no representan las longitudes medias de la época, sino que están determinadas por las relaciones (7.22). Con la introducción de la variables ρ y ρ´ el término secular se anula; entonces, las ecuaciones diferenciales que definen la variación de los elementos elípticos de los planetas m y m´ conservan la misma forma pero las derivadas de aR∂∂ y ´a´R∂∂ se deben calcular derivando solamente los coeficientes de los cos D, i.e., sin hacer variar los argumentos de los cosenos. • • m m´ G τ´ τ γγγγ Ω´ Ω NOTA: Los ángulos τ y τ´ se definen como: τ´ = γ Ω´ + Ω´G τ = γ Ω + Ω G τ y τ´ son las longitudes en las orbitas de m y m´ del nodo ascendente de m respecto de m´; es decir la distancia γγγγG. (τ´−τ) es la diferencia en longitud entre el planeta m respecto del planeta m´. Plano de referencia Eclíptica. Orbita del planeta m Orbita del planeta m´ 166 § 7.6 Teoría de las perturbaciones planetarias. 1 Consultar: Verhulst, F.; 2000, “Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems”, pág. 122. Marsden, J.E. & Retin, T.S.: 1999, “Introduction to Mechanics and Symmetry”, pág. 47. 2 Es un elemento osculador de la órbita. Entonces, podemos resumir diciendo que cualquiera de las ecuaciones diferenciales de los elementos elípticos de m se puede escribir de la forma: tdσd = m´ F ( ρ + ε, ρ´ + ε´, a, a´, e, e´, . . . ) (7.23) donde σ representa a uno de los seis elementos. Una expresión similar para un elemento cualquiera del planeta m´, i.e., td´σd = m F ( ρ + ε, ρ´ + ε´, a, a´, e, e´, . . . ) Hemos analizado estos sistemas de ecuaciones diferenciales, los cuales se pueden resolver mediante el método de Poincaré 1, ya que las masas m y m´ en el Sistema Solar son muy pequeñas (menor que 310 − MSol) luego, las soluciones de estas ecuaciones, en serie de potencias de las masas perturbadoras, son convergentes al menos durante un intervalo de tiempo suficientemente grande. ¿Cómo se son estas soluciones?. En desarrollos en serie, de la forma: σ = σ0 + δ1σ0 + δ2σ0 + . . . (7.24) donde σ0 = const. 2; además, como hemos visto, las perturbaciones 0nσδ son funciones del tiempo. Entonces, si reemplazamos los σ (elementos orbitales) en ambos miembros de (7.23) por el desarrollo propuesto (7.24), se tiene: )(tdd01σδ + )(tdd02σδ + - - - = m´ F ( ρ0 + ε0 + δ1ρ0 + δ1ε0 + - - -; ρ´0 + ε´0 + δ´1 ρ´0 + δ´1 ε´0 + - - - ; a0 + δ1 a0 + - - - ; a´0 + δ´1 a’0 + - - - ). Como hemos estudi