La representación gráfica del movimiento relativo de dos cuerpos, en el plano y en coordenadas polares, se muestra en la Figura 4. Cálculo de los valores máximos y mínimos del radio vector r en función de ω. Suponemos que la dirección del argumento del periastro ω0 coincide con la dirección del eje-x, luego ω0 = 0 y por tanto r será mínimo cuando ω = 0, i.e., si r = ω+ cose1 resulta para ω = 0 que r será un mínimo, entonces se tiene: r = e1p+ = a (1 – e), por ser p = a (1 – e2). Un concepto muy importante en el estudio de los sistemas dinámicos. El movimiento r (t) es estable si se satisfacen las siguientes dos condiciones: i) r (t) ≠ 0 para todo valor de t en ausencia de colisión. ii) │r (t)│ ≤ c ( c = constante). Si el movimiento es estable, entonces la energía total h del sistema es negativa. (Teorema de Jacobi). Si ω = π entonces r es máximo, ya que r = e1p− = a (1+e). Además, como hemos visto p = a (1 – e2) = µ2C luego, el módulo al cuadrado del vector momento angular tiene la forma, 2C = )e1(a 2−µ ; también por definición, la excentricidad e tiene la expresión 2Ch1eµ+= , (ver pág. 13), entonces e2 = 2Ch1µ+ y reemplazando el valor hallado de C2 resulta )e1()e1(a h1e 22−µ+= ; luego )e1(a h1e 22−=−µ y a partir de esta igualdad podemos obtener h como: )e1()e1(ah22−−µ−= y por tanto, h = aµ−. Expresión que representa la energía total del sistema y nos dice que es inversamente proporcional al semieje mayor de la órbita (una constante del movimiento); además, si e < 1 (órbita elíptica), a es positivo entonces la integral de la energía es negativa y la trayectoria es estable 1. Tercera ley de Kepler. El elemento de área en coordenadas polares se obtiene del triangulo formado por r, (r + dr) y dω, su expresión analítica es: ω= dr21Ad2 , ver Figura 5. Teniendo en cuenta la ecuación (2.10), la integral de las áreas: Cr2=ω, resulta Ctdr21dr22=ω y por tanto, ω= dr21Ad2 = Ctdr21dr22=ω. Entonces, la velocidad areal esta expresada por la ecuación Ctdr21Ad= ; i.e., es una constante. Si reemplazamos el valor de la constante C, hallado anteriormente, se obtiene )e1(a21tdAd2−µ= Expresión que relaciona la velocidad areal con los parámetros de la órbita a y e. NOTA: La ecuación (2.14) es válida para e < 1. Sea T el período de m1 respecto de m0 y n su movimiento medio, i.e., T2nπ= . Además, por definición, la velocidad areal en una órbita elíptica es: Tbaπ; entonces, por definición de movimiento medio T = n2π luego, la velocidad areal es: Tbaπ = n2baππ = nba21 = ne1a21 22−1. Por lo tanto, si igualamos las dos expresiones halladas para la velocidad areal, resulta )e1(a21tdAd2−µ= ne1a21 22−, relación que nos permite determinar µ, 32an=µ = Consideremos dos planetas orbitando el Sol, con masas 1m y 2m; sean 1a, 1n y 2a, 2n sus semieje mayor y movimiento medio respectivamente, entonces se satisfacen las siguientes relaciones 2: 1µ = )mm(k102+ = 31an 2µ = )mm(k202+ = 32an donde m0 es la masa del Sol. Dividiendo miembro a miembro estas dos expresiones resulta, 2010mmmm++ = 32 22 31 21an an; el primer miembro se puede expresar de la forma: 2010mmmm++ = 1 + 2021mmmm+−, luego se tiene 322 31 21an an = 1 + 2021mmmm+−, (2.15) expresión que representa la Tercera Ley de Kepler. NOTA: El enunciado de la tercera ley de Kepler es: “El cuadrado de los periodos de dos planetas cualesquiera es proporcional al cubo de sus distancias medias desde el Sol”. 2Tierra21TT∼∼∼∼3Tierra31aa Sea T el período de m1 respecto de m0 y n su movimiento medio, i.e., T2nπ= . Además, por definición, la velocidad areal en una órbita elíptica es: Tbaπ; entonces, por definición de movimiento medio T = n2π luego, la velocidad areal es: Tbaπ = n2baππ = nba21 = ne1a21 22−1. Por lo tanto, si igualamos las dos expresiones halladas para la velocidad areal, resulta )e1(a21tdAd2−µ= ne1a21 22−, relación que nos permite determinar µ, 32an=µ = Consideremos dos planetas orbitando el Sol, con masas 1m y 2m; sean 1a, 1n y 2a, 2n sus semieje mayor y movimiento medio respectivamente, entonces se satisfacen las siguientes relaciones 2: 1µ = )mm(k102+ = 31an 2µ = )mm(k202+ = 32an donde m0 es la masa del Sol. Dividiendo miembro a miembro estas dos expresiones resulta, 2010mmmm++ = 32 22 31 21an an; el primer miembro se puede expresar de la forma: 2010mmmm++ = 1 + 2021mmmm+−, luego se tiene 322 31 21an an = 1 + 2021mmmm+−, (2.15) expresión que representa la Tercera Ley de Kepler. NOTA: El enunciado de la tercera ley de Kepler es: “El cuadrado de los periodos de dos planetas cualesquiera es proporcional al cubo de sus distancias medias desde el Sol”. 2Tierra21TT∼∼∼∼3Tierra31aa Luego, 322 31 21an an = 1, (2.16) Esta expresión es correcta si 10mm>> y m2. Entonces, de acuerdo a (2.15), la tercera ley de Kepler sólo se satisface aproximadamente en el Sistema Solar, pues en él la masa del planeta mayor (Júpiter) es del orden de 0,001 la masa del Sol 1. En conclusión, la tercera ley de Kepler (2.16) sólo es válida en el Sistema Solar. La expresión rigurosa que la acredita es la formula (2.15). Si consideramos un sistema estelar (por ejemplo, un sistema binario) la fórmula que se debe aplicar, para obtener los elementos de la órbita o el movimiento medio, es la expresión (2.15). NOTA: Cuando el movimiento de los cuerpos, en un sistema estelar, satisface las tres Leyes de Kepler se lo define como “movimiento Kepleriano” y en el caso de un sistema planetario, se dice que se mueven en “órbitas Keplerianas”. También es importante expresar el período (una revolución completa) en función de a y µ, T = 2πµ3a. Si en la integral de las áreas o integral de las fuerzas vivas, enunciada por la relación: ωdr2 = Ctd, reemplazamos ωd y las constantes por sus desarrollos, ver pág. 12, entonces resulta: ωd = −+µ222r1Chrr1C2rrd luego, Ctd = 2r−+µ222r1Chrr1C2rrd factoreando 2C1 y 2r1 en el radicando resulta, Ctd = 22Crhr2rdrC−+µ; recordemos que )e1(a